(UFPE-99) Seja N=0,1,2,3, ldots o conjunto dos naturais e f: N times N N (m, n) 2^m ( 2 n+1 )
Analise as afirmações:
0-0) f é injetora
1-1) f é sobrejetora
2-2) f é bijetora
3-3) A imagem de f consiste dos números pares
4-4) A imagem de f não contém primos.

Passo 1

O enunciado define
fcolon NtimesNtoN, f(m,n)=2^m,(2n+1)
Vamos usar a fatoração única de um inteiro em potência de 2 vezes um ímpar para estudar injetividade, sobrejetividade, bijetividade e características da imagem.

Passo 2

Para a injetividade, suponha
f(m,n)=f(m',n')implies 2^m(2n+1)=2^m'(2n'+1)
Na fatoração única de primos, a potência de 2 em cada lado deve ser igual, logo m=m'. Dividindo por 2^m obtemos 2n+1=2n'+1, daí n=n'. Concluímos que f é injetora.

Passo 3

Para a sobrejetividade, pergunte se todo kinN tem um par (m,n) tal que f(m,n)=k. Note que f(m,n)>=1 para todos (m,n), pois 2^m>=1 e 2n+1>=1. Assim 0 nunca é imagem, o que mostra que f não é sobrejetora.

Passo 4

Como f falha em ser sobrejetora, não pode ser bijetora (é bijetora só se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo). Logo f não é bijetora.

Passo 5

Quanto à paridade da imagem, vemos que para m=0 temos
f(0,n)=2^0(2n+1)=2n+1,
que são todos os ímpares positivos. Logo a imagem não consiste só de pares.

Passo 6

Para verificar primos na imagem, note que todo primo ímpar p aparece como
f(0,tfracp-12)=p,
e o primo 2 aparece em
f(1,0)=2^1(2cdot0+1)=2
Logo a imagem contém todos os primos.

Resposta

0-0) Verdadeiro
1-1) Falso
2-2) Falso
3-3) Falso
4-4) Falso

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