(UFPE-99) Seja
o conjunto dos naturais e
(
)
Analise as afirmações:
0-0)
é injetora
1-1)
é sobrejetora
2-2)
é bijetora
3-3) A imagem de
consiste dos números pares
4-4) A imagem de
não contém primos.
Analise as afirmações:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3) A imagem de
4-4) A imagem de
Passo 1
O enunciado define
Vamos usar a fatoração única de um inteiro em potência de 2 vezes um ímpar para estudar injetividade, sobrejetividade, bijetividade e características da imagem.
Passo 2
Para a injetividade, suponha
Na fatoração única de primos, a potência de 2 em cada lado deve ser igual, logo
. Dividindo por
obtemos
, daí
. Concluímos que
é injetora.
Passo 3
Para a sobrejetividade, pergunte se todo
tem um par
tal que
. Note que
para todos
, pois
e
. Assim
nunca é imagem, o que mostra que
não é sobrejetora.
Passo 4
Como
falha em ser sobrejetora, não pode ser bijetora (é bijetora só se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo). Logo
não é bijetora.
Passo 5
Quanto à paridade da imagem, vemos que para
temos
que são todos os ímpares positivos. Logo a imagem não consiste só de pares.
Passo 6
Para verificar primos na imagem, note que todo primo ímpar
aparece como
e o primo
aparece em
Logo a imagem contém todos os primos.
Resposta
0-0) Verdadeiro
1-1) Falso
2-2) Falso
3-3) Falso
4-4) Falso
1-1) Falso
2-2) Falso
3-3) Falso
4-4) Falso