(FGV-2003) Quando uma pizzaria cobra R$14,00 por pizza, 80 unidades são vendidas por dia. Quando o preço é R$ 12,00 por pizza, 90 unidades são vendidas.
a) Admitindo que a quantidade vendida (y) seja função do grau do preço (x), qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita diária?

Passo 1

O enunciado diz que, ao cobrar preço x por pizza, vende-se uma quantidade y por dia, e que y depende linearmente de x. Queremos achar o preço x que maximiza a receita diária. O conteúdo aqui é modelar a curva de demanda como função do 1º grau e em seguida maximizar a função de receita, que será uma parábola.

Passo 2

Vamos determinar a função demanda y(x). Sabemos que:
y(14)=80, y(12)=90
Como é linear, o coeficiente angular é
m = 90 - 8012 - 14 = 10-2 = -5
Logo
y(x) = -5x + b
Usando y(14)=80, obtemos
80 = -5cdot14 + b Longrightarrow b = 80 + 70 = 150
Portanto
y(x)=150 - 5x

Passo 3

A receita diária R(x) é o produto do preço pela quantidade vendida:
R(x) = x cdot y(x) = x,(150 - 5x) = 150x - 5x^2
Isso é uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola voltada para baixo.

Passo 4

Para maximizar R(x), usamos a fórmula da abscissa do vértice de uma parábola ax^2 + bx + c, que é x=-tfracb2a. Aqui a=-5 e b=150, então
xvértice = -1502cdot(-5) = 15010 = 15 é
Esse é o preço que maximiza a receita.

Resposta

O preço que maximiza a receita diária é R$ 15,00.

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