(Ciaba-2005) O intervalo onde a função f(x)=ax-2ax^2-x, com a in R-^*, apresenta sinal positivo é
a) ]-infty, 2a[
b) ] 1a, 0[
c) [1a,+infty[
d) ] 2a, 1a[

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de x tais que
f(x)=a x - 2a x^2 - x>0
sendo ainR-^*. O conteúdo é discussão de sinal de função racional: precisamos encontrar raízes do numerador, zeros do denominador, dividir a reta em intervalos e analisar o sinal em cada um.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos:
bul<=t Numerador a x - 2 = 0 em x = 2a.
bul<=t Denominador a x^2 - x = x,(a x - 1) anula-se em x = 0 e em x = 1a
Como a<0, temos 2a<1a<0. Assim os pontos críticos em ordem crescente são
-infty,;2a,;1a,;0,;+infty

Passo 3

Em cada intervalo vamos checar o sinal de cada fator:
fatores: a x - 2, x, a x - 1
1. Para x<tfrac2a: escolhemos um valor de x bem menor que tfrac2a. Então a x-2>0, x<0, a x-1>0. Logo o denominador x,(a x-1)<0 e f<0.
2. Para tfrac2a<x<tfrac1a: aí a x-2<0, x<0, a x-1>0, o denominador continua negativo e f>0.
3. Para tfrac1a<x<0: a x-2<0, x<0, mas agora a x-1<0, o denominador fica positivo e f<0.
4. Para x>0: temos a x-2<0, x>0, a x-1<0, o denominador é negativo e f>0.

Passo 4

Concluímos que
f(x)>0Long<=ftrightarrow xinl(tfrac2a,,tfrac1ar);cup;(0,,+infty)

Passo 5

Entre as alternativas dadas, o único intervalo totalmente contido na região onde f>0 (e que aparece isolado numa opção) é
l(tfrac2a,,tfrac1ar),
que corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) ]tfrac2a,,tfrac1a[

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