(FGV-SP) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se mal na aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares. Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por Carlos foi:
a) 512000
b) 780324
c) 1000000
d) 1210020
e) 2048000

Passo 1

O enunciado pede a soma dos mil primeiros números ímpares, ou seja,
1 + 3 + 5 + dots + (2cdot1000 - 1)
Isso é conteúdo de progressão aritmética (PA) e há um resultado especial que diz que a soma dos primeiros n ímpares vale n^2.

Passo 2

A sequência dos números ímpares é uma PA com primeiro termo a1 = 1, razão d = 2 e número de termos n = 1000.

Passo 3

O enésimo termo de uma PA é dado por
an = a1 + (n-1),d
Logo,
a1000 = 1 + (1000 - 1)cdot 2 = 1 + 1998 = 1999

Passo 4

A soma dos n termos de uma PA é
Sn = n,(a1 + an)2
Substituindo n=1000, a1=1 e an=1999, vem
S1000 = 1000,(1 + 1999)2 = 1000 cdot 20002 = 1000 cdot 1000 = 1000000

Passo 5

O resultado confirma o atalho 1+3+5+dots+(2n-1)=n^2, pois 1000^2=1000000. Entre as opções, isso corresponde à letra c).

Resposta

c) 1000000

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