(ITA-SP) Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz
A=[cccn & log 2 2 & -log 2 12 n+5 & log 3 3^n & log 3 243 -5 & log 5 1125 & -log 5 25]
é igual a 9, determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa A^-1.

Passo 1

O enunciado pede primeiro para achar o valor de n de modo que
det(A)=9,
onde
A= n & log22 & -log212[6pt] n+5 & log33^n & log3243[6pt] -5 & log5tfrac1125 & -log525
Em seguida, com esse n, devemos encontrar a soma dos elementos da primeira coluna de A^-1. Usaremos propriedades de logaritmos, cálculo de determinante e, para a soma da coluna da inversa, a ideia de que a primeira coluna de A^-1 é a solução de A,x=e1.]

Passo 2

Aplicando logaritmos, obtemos cada entrada de A:
log22 = 1, -log2tfrac12 = -(-1)=1,
log33^n=n, log3243 = log33^5=5,
log5tfrac1125=log55^-3=-3, -log525 = -2
Logo
A = n & 1 & 1 n+5 & n & 5 -5 & -3 & -2

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão:
det(A) = nn&5-3&-2 -1n+5&5-5&-2 +1n+5&n-5&-3
Cada menor vale
n&5-3&-2 =-2n+15, n+5&5-5&-2 =-2(n+5)+25=-2n+15,
n+5&n-5&-3 =-(3n+15)+5n=2n-15
Assim
det(A)=n(-2n+15)-1(-2n+15)+(2n-15) =-2n^2+15n+2n-15+2n-15 =-2n^2+19n-30
Impondo det(A)=9:
-2n^2+19n-30=9 Longrightarrow 2n^2-19n+39=0,
De<a=19^2-4cdot2cdot39=49, logo
n=19pm74implies n=124=3(único natural) ú

Passo 4

Para achar a soma dos elementos da primeira coluna de
O sistema é
Da primeira linha vem , ou seja , , . Essa é a primeira coluna de .

Passo 5

A soma dos elementos dessa coluna é
x1+x2+x3 = 1 + (-1) + (-1) = -1

Resposta

n=3 e a soma dos elementos da primeira coluna de A^-1 é -1.

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