(FGV-17) O coeficiente de x^{12} na expansão de \left(1+x^{4}+x^{5}\right)^{10} é igual a
a) 120 .
b) 90 .
c) 81 .
d) 60 .
e) 54 .

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{12} na expansão de \bigl(1+x^{4}+x^{5}\bigr)^{10}.
Para isso vamos aplicar o Teorema Multinomial, que diz que, ao expandir
(A+B+C)^{10},
o termo onde A aparece a vezes, B aparece b vezes e C aparece c vezes (com a+b+c=10) vem multiplicado de
\frac{10!}{a!\,b!\,c!}\;A^{a}B^{b}C^{c}.
Aqui identificamos A=1, B=x^{4} e C=x^{5}.

Passo 2

Para obter x^{12}, precisamos de
4a + 5b + 0\cdot c = 12 \quad\text{e}\quad a+b+c=10,
com a,b,c\ge0. A equação 4a+5b=12 tem soluções inteiras não negativas? Testando valores de b:
  • Se b=0, então 4a=12 \Rightarrow a=3.
  • Se b\ge1, então 5b\ge5 e 4a=12-5b não será múltiplo de 4 (ou a fica negativo).
Logo a única solução é a=3, b=0, e então c=10-(a+b)=7.

Passo 3

O coeficiente procurado é
\frac{10!}{3!\,0!\,7!} = \frac{10\times9\times8}{3\times2\times1} = 120.

Resposta

a) 120.

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