(FGV-SP) Dois veículos partem simultaneamente de um ponto P de uma pista circular, porém em direções opostas. Um deles corre ao ritmo de 5 metros por segundo, e o outro, ao ritmo de 9 metros por segundo. Se os veículos pararem quando se encontrarem pela primeira vez no ponto P , o número de vezes que eles terão se encontrado durante o percurso, sem contar os encontros da partida e da chegada, é igual a
a) 45
b) 44
c) 25
d) 17
e) 13

Passo 1

O enunciado diz que dois veículos partem juntos do ponto P de uma pista circular de comprimento L, mas em sentidos opostos, com velocidades constantes de 5,m/s e 9,m/s. Eles param quando voltam a se encontrar exatamente em P pela primeira vez após a partida. Queremos saber quantas vezes, excluindo os encontros iniciais (na partida) e finais (na chegada em P), esses veículos se cruzam durante o percurso.
Conteúdo: movimento circular uniforme, método de encontro usando velocidade relativa e condição de retorno simultâneo ao ponto P.

Passo 2

Para parar em P simultaneamente, cada veículo deve completar um número inteiro de voltas. Sejam m1 e m2 as voltas percorridas pelos veículos de velocidades v1=5 e v2=9, respectivamente, em um mesmo instante T. Então
v1,T = m1,L e v2,T = m2,L
Isso implica
m15 = m29
O menor inteiro positivo que satisfaz é m1=5 e m2=9. Logo
T = m1,Lv1 = 5L5 = L(segundos)

Passo 3

Do ponto de vista de encontros, como correm em sentidos opostos a velocidade relativa é
vrm rel = v1 + v2 = 5 + 9 = 14 m/s
Eles se cruzam sempre que a distância relativa percorrida for um múltiplo exato de L. Ou seja, para k=1,2,dots, o k-ésimo encontro ocorre em
tk = k,Lvrm rel = k,L14
Devemos contar os encontros com 0<tk<T=L, isto é, k<14. Assim k=1,2,dots,13, totalizando 13 encontros antes de retornarem juntos a P.

Resposta

13

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