(ITA-SP) Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 2 raiz3 cm. No interior
deste triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo. Este círculo tangencia externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam 2 lados do triângulo.
a) Determine o valor de r.
b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos.
c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do centro ao vértice mais próximo.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo equilátero de lado s=2raiz3 cm e quatro círculos de raio r dispostos assim: um círculo central com centro no baricentro O do triângulo e três círculos periféricos, cada um tangenciando externamente o círculo central e tangenciando dois lados do triângulo.
Conteúdo: geometria analítica em coordenadas e relações de tangência entre círculos e retas.

Passo 2

Escolhemos coordenadas convenientes:
Vértices do triângulo em
baricentro
Considere o círculo de centro em
Dessa forma obtém-se
Como o círculo central de centro tangenciam externamente, vale
Dentro das contas isso reduz a
]

Passo 3

A área do triângulo equilátero é
Áreatriang<= =raiz34,s^2 =raiz34,(2raiz3)^2 =3raiz3 cm^2 Á
A área total dos quatro círculos de raio r=tfrac12 é
4cdotpi,r^2 =4pil(tfrac12r)^2 =pi cm^2
Logo a região do triângulo não preenchida pelos círculos vale
3raiz3-pi cm^2

Passo 4

Cada círculo periférico, ao tocar dois lados do ângulo de 60^circ, tem seu centro situado sobre a bissetriz desse ângulo e está a uma distância do vértice dada por
d = rsin(60^circ/2) =rsin 30^circ = r1/2 =2r
Com r=tfrac12, obtemos
d=2cdottfrac12=1 cm

Resposta

a) r=tfrac12 cm.
b) 3raiz3-pi cm ^2.
c) Para cada círculo periférico, a distância do centro ao vértice mais próximo é 1 cm.

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