(ITA-SP) Considere um triângulo equilátero cujo lado mede
. No interior
deste triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo. Este círculo tangencia externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam 2 lados do triângulo.
a) Determine o valor de
.
b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos.
c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do centro ao vértice mais próximo.
deste triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo. Este círculo tangencia externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam 2 lados do triângulo.
a) Determine o valor de
b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos.
c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do centro ao vértice mais próximo.
Passo 1
O enunciado descreve um triângulo equilátero de lado
cm e quatro círculos de raio
dispostos assim: um círculo central com centro no baricentro
do triângulo e três círculos periféricos, cada um tangenciando externamente o círculo central e tangenciando dois lados do triângulo.
Conteúdo: geometria analítica em coordenadas e relações de tangência entre círculos e retas.
Conteúdo: geometria analítica em coordenadas e relações de tangência entre círculos e retas.
Passo 2
Escolhemos coordenadas convenientes:
Vértices do triângulo em
Vértices do triângulo em
baricentro
Considere o círculo de centro em
Dessa forma obtém-se
Como o círculo central de centro tangenciam externamente, vale
Dentro das contas isso reduz a
]
Passo 3
A área do triângulo equilátero é
A área total dos quatro círculos de raio
é
Logo a região do triângulo não preenchida pelos círculos vale
Passo 4
Cada círculo periférico, ao tocar dois lados do ângulo de
, tem seu centro situado sobre a bissetriz desse ângulo e está a uma distância do vértice dada por
Com
, obtemos
Resposta
a)
cm.
b) cm
.
c) Para cada círculo periférico, a distância do centro ao vértice mais próximo é cm.
b)
c) Para cada círculo periférico, a distância do centro ao vértice mais próximo é