(ITA-SP) Do triângulo de vértices e , inscrito em uma circunferência de raio , sabe-se que o lado mede 2 cm e o ângulo interno A B C mede 30^circ. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a
a) 2-raiz3
b) 13
c) raiz24
d) 2 raiz3-3
e) 12
Passo 1
O enunciado dá um triângulo a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C inscrito numa circunferência de raio r=Atriang<=s,, com e . Queremos o raio da circunferência inscrita no triângulo. Usaremos a relação dos lados com o raio circunscrito
e a fórmula do raio inscrito
onde é a área e é o semiperímetro.
Passo 2
Para o lado b = CA = 2R sin B = 2cdot2cdotsin30^circ = 4cdottfrac12 = 2 (oposto a a = 2Rsin A Longrightarrow 2 = 4sin A Longrightarrow sin A = tfrac12 ) temos
ang<= C = 180^circ - 30^circ - 30^circ = 120^circ
Como , aplicamos
ou seja . Logo
Passo 3
Calculamos o lado c = 2R sin C = 4sin120^circ = 4cdotraiz32 = 2raiz3 usando
Passo 4
O semiperímetro é
s = a+b+c2 = 2 + 2 + 2raiz32 = 2 + raiz3
Passo 5
A área do triângulo pode ser dada por
Atriang<= = 12,a,b,sin C = 12cdot2cdot2cdotsin120^circ = 2cdotraiz32 = raiz3
Passo 6
O raio inscrito é
r = Atriang<=s = raiz32+raiz3
Racionalizando o denominador:
r = raiz3(2-raiz3)(2+raiz3)(2-raiz3) = 2raiz3 - 3
Resposta
(alternativa d) )
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 56