(ITA-SP) Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R=2 cm, sabe-se que o lado BC mede 2 cm e o ângulo interno A B C mede 30^circ. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a
a) 2-raiz3
b) 13
c) raiz24
d) 2 raiz3-3
e) 12

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R=2 cm, com BC=2 cm e ang<= ABC=30^circ. Queremos o raio r da circunferência inscrita no triângulo. Usaremos a relação dos lados com o raio circunscrito
a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C
e a fórmula do raio inscrito
r=Atriang<=s,
onde Atriang<= é a área e s é o semiperímetro.

Passo 2

Para o lado CA (oposto a B) temos
b = CA = 2R sin B = 2cdot2cdotsin30^circ = 4cdottfrac12 = 2
Como BC=a=2, aplicamos
a = 2Rsin A Longrightarrow 2 = 4sin A Longrightarrow sin A = tfrac12
ou seja ang<= A=30^circ. Logo
ang<= C = 180^circ - 30^circ - 30^circ = 120^circ

Passo 3

Calculamos o lado AB=c usando
c = 2R sin C = 4sin120^circ = 4cdotraiz32 = 2raiz3

Passo 4

O semiperímetro é
s = a+b+c2 = 2 + 2 + 2raiz32 = 2 + raiz3

Passo 5

A área do triângulo pode ser dada por
Atriang<= = 12,a,b,sin C = 12cdot2cdot2cdotsin120^circ = 2cdotraiz32 = raiz3

Passo 6

O raio inscrito é
r = Atriang<=s = raiz32+raiz3
Racionalizando o denominador:
r = raiz3(2-raiz3)(2+raiz3)(2-raiz3) = 2raiz3 - 3

Resposta

2raiz3 - 3 (alternativa d) )

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