(ITA-SP) Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R=2 cm, sabe-se que o lado BC mede 2 cm e o ângulo interno A B C mede 30^circ. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a
a) 2-raiz3
b) 13
c) raiz24
d) 2 raiz3-3
e) 12

Passo 1

O enunciado dá um triângulo a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C inscrito numa circunferência de raio r=Atriang<=s,, com e . Queremos o raio da circunferência inscrita no triângulo. Usaremos a relação dos lados com o raio circunscrito
e a fórmula do raio inscrito
onde é a área e é o semiperímetro.

Passo 2

Para o lado b = CA = 2R sin B = 2cdot2cdotsin30^circ = 4cdottfrac12 = 2 (oposto a a = 2Rsin A Longrightarrow 2 = 4sin A Longrightarrow sin A = tfrac12 ) temos
ang<= C = 180^circ - 30^circ - 30^circ = 120^circ
Como , aplicamos
ou seja . Logo

Passo 3

Calculamos o lado c = 2R sin C = 4sin120^circ = 4cdotraiz32 = 2raiz3 usando

Passo 4

O semiperímetro é
s = a+b+c2 = 2 + 2 + 2raiz32 = 2 + raiz3

Passo 5

A área do triângulo pode ser dada por
Atriang<= = 12,a,b,sin C = 12cdot2cdot2cdotsin120^circ = 2cdotraiz32 = raiz3

Passo 6

O raio inscrito é
r = Atriang<=s = raiz32+raiz3
Racionalizando o denominador:
r = raiz3(2-raiz3)(2+raiz3)(2-raiz3) = 2raiz3 - 3

Resposta

(alternativa d) )