(UFLA-04) Um naturalista obscrvou que o número de ramos de uma espécie arbórea cresce como uma progressão geométrica ao longo dos anos. Se o número de ramos em um certo ano é igual à soma dos números de ramos dos dois anos anteriores, qual a razão dessa progressão?
a) \frac{1+\sqrt{5}}{2}
b) \sqrt{5}
c) 2
d) \frac{1}{2}
е) \frac{1-\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado diz que o número de ramos forma uma progressão geométrica de razão \,r e satisfaz a relação
a_n = a_{n-1} + a_{n-2}.
Como em uma PG temos a_n = r\,a_{n-1}, vamos usar essa igualdade junto à relação dada para encontrar r.

Passo 2

Substituindo a_n = r\,a_{n-1} na relação a_n = a_{n-1} + a_{n-2} e lembrando que a_{n-2} = a_{n-1}/r, obtemos
r\,a_{n-1} = a_{n-1} + \frac{a_{n-1}}{r}.
Dividindo por a_{n-1}\neq0, chega-se a
r = 1 + \frac{1}{r}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por r, obtém-se a equação quadrática
r^2 = r + 1 \quad\Longleftrightarrow\quad r^2 - r - 1 = 0.

Passo 4

Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Como a razão de uma progressão geométrica deve ser positiva, escolhemos
r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}

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