(FGV-SP) A equação de uma hipérbole equilátera cujas assíntotas são paralelas aos eixos x e y pode ser expressa na forma: (x-h)(y-k)=C, em que (h, k) é o centro da hipérbole, e as retas x=h e y =k são as assíntotas.
As assíntotas vertical e horizontal da hipérbole de equação xy +x-3 y-2=0 são, respectivamente:
a) x=-1 e y=3
b) x=-3 e y=-1
c) x=3 e y=-1
d) x=-3 e y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação da hipérbole
xy + x - 3y - 2 = 0
e lembra que, para uma hipérbole equilátera cujas assíntotas são paralelas aos eixos, podemos escrever
(x - h)(y - k) = C,
onde (h,k) é o centro e as retas x=h e y=k são as assíntotas.

Passo 2

Vamos escrever a forma geral
(x - h)(y - k) = C
e expandi-la para comparar com a dada:
(x - h)(y - k) = xy - kx - hy + hk
Colocando tudo à esquerda de modo que fique igual a zero:
xy - kx - hy + (hk - C) = 0

Passo 3

Comparando xy - kx - hy + (hk - C)=0 com xy + x - 3y - 2 = 0, igualamos coeficientes de x, de y e o termo constante:
-k = 1 Longrightarrow k = -1,
-,h = -3 Longrightarrow h = 3
Não precisamos de C para as assíntotas, pois elas vêm só de h e k.

Passo 4

As assíntotas vertical e horizontal são, respectivamente,
x = h = 3 e y = k = -1

Resposta

(c) x=3 e y=-1

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