(UF-PB) Em certo jogo de computador, dois jogadores, A e B, disputam uma partida da seguinte maneira:
Inicialmente, cada jogador escolhe dois pontos do plano cartesiano, diferentes de ( 0,0 ), de modo que um dos pontos pertença à reta e o outro ponto, à reta .
Em seguida, cada jogador fornece seus pontos ao computador, que calcula a área do triângulo cujos vértices são os pontos por ele escolhidos e o ponto ( 0,0 ).
O ganhador será aquele que escolher os pontos que forneçam o triângulo com maior área.
Caso os jogadores escolham pontos que forneçam triângulos com a mesma área, haverá empate.
Nesse contexto, identifique as afirmativas corretas:
I. Se o jogador A escolher os pontos e e o jogador B escolher os pontos e , ganhará o jogador B.
II. Se o jogador A escolher seus pontos, de modo que eles pertençam à reta x e o jogador B escolher seus pontos, de modo que eles pertençam à reta y , ganhará o jogador A.
III. Se o jogador A escolher seus pontos, de modo que eles pertençam à reta e o jogador B escolher seus pontos, de modo que eles pertençam à reta x , haverá empate.
IV. Se os jogadores A e B escolherem um mesmo ponto da reta e pontos distintos da reta e equidistantes da origem, haverá empate.
V. Se o jogador A escolher seus pontos, de modo que eles pertençam à reta y e o jogador B escolher seus pontos, de modo que eles pertençam à reta y , ganhará o jogador B.
Passo 1
Resumindo: Dois jogadores A e B escolhem dois pontos distintos do plano (não em (0,0)), um sobre e outro sobre . O computador calcula a área do triângulo com vértices em e nesses pontos. Quem tiver maior área, ganha; se iguais, empate. Para resolver, precisamos achar a fórmula da área em função das coordenadas e aplicá-la aos casos dados.
Passo 2
Derivar expressão da área: Seja o ponto em e o ponto em . A área do triângulo com vértices em é dada por
Portanto a área depende do produto ab em valor absoluto.
Passo 3
Análise da afirmativa I: Para A, os pontos são (2,4) e (2,8), logo a=2 e b=2, dando ÁreaA=|2cdot2|=4Á. Para B, os pontos são (3,6) e (1,4), logo a=3 e b=1, dando ÁreaB=|3cdot1|=3Á. Como 4>3, A ganha, contrariando a afirmativa. Logo I é falsa.
Passo 4
Análise da afirmativa II: Se A escolhe sobre x=20, os pontos são (20,40) e (20,80), logo a=b=20 e ÁreaA=|20cdot20|=400Á. Se B escolhe sobre y=20, os pontos são (10,20) e (5,20), logo a=10, b=5 e ÁreaB=|10cdot5|=50Á. Então 400>50, A ganha, confirmando II como verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa III: Se A escolhe sobre x=10, os pontos são (10,20) e (10,40), logo ÁreaA=|10cdot10|=100Á. Se B escolhe sobre x=-10, os pontos são (-10,-20) e (-10,-40), logo ÁreaB=|(-10)cdot(-10)|=100Á. Como as áreas são iguais, há empate, confirmando III como verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmativa IV: Se ambos usam o mesmo ponto em y=2x, têm igual a. Se os pontos em y=4x são distintos mas equidistantes da origem, seus valores de b satisfazem |b1|=|b2|, tipicamente b2=-b1. Então ÁreaA=|a b1|Á e ÁreaB=|a b2|=|a(-b1)|=|a b1|Á, logo empate, confirmando IV como verdadeira.
Passo 7
Análise da afirmativa V: Se A escolhe sobre y=12, pontos em y=2x e y=4x são (6,12) e (3,12), então ÁreaA=|6cdot3|=18Á. Se B escolhe sobre y=16, pontos são (8,16) e (4,16), então ÁreaB=|8cdot4|=32Á. Como 32>18, B ganha, confirmando V como verdadeira.
Resposta
As afirmativas corretas são II, III, IV e V.
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 105