(FGV-SP) O número complexo z=a+b i, com a e b reais, satisfaz z+|z|=2+8 i, com |a+b i|=raiza^2+b^2. Nessas condições, |z|^2 é igual a:
a) 68
b) 100
c) 169
d) 208
e) 289

Passo 1

O enunciado dá um número complexo z = a + b,i e pede lvert zrvert^2, sabendo que
z + lvert zrvert = 2 + 8,i
Aqui o conteúdo é equação com número complexo e módulo, e vamos precisar separar em parte real e imaginária e usar lvert zrvert = raiza^2+b^2.

Passo 2

Defina r = lvert zrvert = raiza^2+b^2. A equação z + r = 2 + 8,i fica
(a + b,i) + r = 2 + 8,i

Passo 3

Separando parte real e imaginária:
a + r = 2, b = 8

Passo 4

Da primeira equação a = 2 - r. Como r = raiza^2+b^2, substituímos:
r = raiz(2 - r)^2 + 8^2 Longrightarrow r^2 = (2 - r)^2 + 64

Passo 5

Desenvolvendo:
r^2 = r^2 - 4r + 4 + 64 Longrightarrow 0 = -4r + 68 Longrightarrow r = 17

Passo 6

Portanto lvert zrvert = 17 e
lvert zrvert^2 = 17^2 = 289

Resposta

289

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