(UE-CE). Os números complexos z=x+y i e w=y+x i satisfazem às igualdades |z|+|w|=16. Se z barw-w barz=0, em que barz=x-y i e barw=y-x i, então o valor da soma |x|+|y| é:
2 raiz2

Passo 1

O enunciado define os complexos
z = x + yi, w = y + xi
e dá duas condições:
1. lvert zrvert + lvert wrvert = 16.
2. zbarw - wbarz = 0.
Queremos encontrar a soma lvert xrvert + lvert yrvert.

Passo 2

Usamos a definição de módulo de um número complexo:
lvert zrvert = raizx^2 + y^2, lvert wrvert = raizy^2 + x^2 = raizx^2 + y^2
Substituindo em lvert zrvert + lvert wrvert = 16 obtemos
raizx^2 + y^2 + raizx^2 + y^2 = 16

Passo 3

Da soma duplicada temos
2,raizx^2 + y^2 = 16 Longrightarrow raizx^2 + y^2 = 8 Longrightarrow x^2 + y^2 = 64

Passo 4

Agora expandimos
zbar w = (x+yi)(y - xi) e wbar z = (y+xi)(x - yi)
Fazendo as multiplicações, chega-se a
zbar w = 2xy + i,(y^2 - x^2), wbar z = 2xy + i,(x^2 - y^2)

Passo 5

Da condição zbar w - wbar z = 0 segue
2xy + i(y^2 - x^2) ;-;l[2xy + i(x^2 - y^2)r] = 0 Longrightarrow 2,i,(y^2 - x^2) = 0 Longrightarrow y^2 = x^2

Passo 6

Como y^2 = x^2, substituímos em x^2 + y^2 = 64:
2,x^2 = 64 Longrightarrow x^2 = 32 Longrightarrow lvert xrvert = raiz32 = 4raiz2, lvert yrvert = 4raiz2

Passo 7

Finalmente, a soma procurada é
lvert xrvert + lvert yrvert = 4raiz2 + 4raiz2 = 8raiz2

Resposta

8raiz2

Exercícios de Livros Relacionados