(UE-CE) Os números complexos z e w, escritos na forma z=x+y i e w =u+v i em que x neq 0 e u neq 0, são tais que z cdot w=1. A soma dos quadrados u^2+v^2 é igual a:
a) 1x
b) 1u^2
c) 1x cdot u
d) ux

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números complexos
z = x + y,i, w = u + v,i
com xneq0 e uneq0, e que
zcdot w = 1
O conteúdo é multiplicação de números complexos e separação em parte real e imaginária para achar u^2+v^2.

Passo 2

Multiplicando z por w obtemos
z,w = (x + y,i)(u + v,i) = (x u - y v) + i,(x v + y u)
Como z,w=1+0,i, igualamos a parte real e a parte imaginária a 1 e 0, respectivamente.

Passo 3

Da parte imaginária temos
x v + y u = 0
e, isolando y,
y u = -x v Longrightarrow y = -x,vu

Passo 4

Da parte real temos
x u - y v = 1
Substituindo y = -tfracx,vu resulta
x u - l(-x,vur)v = x u + x,v^2u = 1
Colocando em evidência x e multiplicando por u vem
xl(u^2 + v^2r) = u Longrightarrow u^2 + v^2 = ux

Resposta

d) ux

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