(FGV-SP) No plano cartesiano, a circunferência que passa pelos pontos A(2,0), B(0,3) e pela origem O(0,0) intercepta a reta y=x em dois pontos. Um deles tem coordenadas cuja soma é:
a) 5
b) 4,5
c) 4
d) 3,5

Passo 1

O enunciado pede a soma das coordenadas do ponto de interseção da circunferência que passa por A(2,0), B(0,3) e O(0,0) com a reta y=x, excluindo o ponto O. Para isso vamos (i) determinar a equação dessa circunferência e (ii) resolver a interseção com y=x.

Passo 2

Uma circunferência geral no plano tem equação
x^2+y^2 + D x + E y + F = 0
Como ela passa pela origem O(0,0), basta substituir (x,y)=(0,0) para ver que
F = 0

Passo 3

Agora impomos que a circunferência passe por A(2,0) e por B(0,3).
Para A(2,0):
(2)^2 + 0^2 + Dcdot2 + Ecdot0 = 0 ;Longrightarrow; 4 + 2D = 0 ;Longrightarrow; D = -2
Para B(0,3):
0^2 + (3)^2 + Dcdot0 + Ecdot3 = 0 ;Longrightarrow; 9 + 3E = 0 ;Longrightarrow; E = -3
Logo a equação da circunferência é
x^2 + y^2 - 2x - 3y = 0

Passo 4

Para achar a interseção com y=x, substituímos em
x^2 + y^2 - 2x - 3y = 0
o valor y = x. Fica
x^2 + x^2 - 2x - 3x = 0 ;Longrightarrow; 2x^2 - 5x = 0 ;Longrightarrow; x(2x - 5) = 0
Assim x = 0 ou x = tfrac52.

Passo 5

O caso x=0 dá o ponto O(0,0), que já conhecemos. O outro ponto é
l(tfrac52,tfrac52r). A soma das coordenadas desse ponto é
tfrac52 + tfrac52 = 5

Resposta

a) 5

Exercícios de Livros Relacionados