(FGV-SP) Um plano intersecta um cilindro circular reto de raio 1 formando uma elipse. Se o eixo maior dessa elipse é 50% maior que o seu eixo menor, o comprimento do eixo maior é igual a:
a) 1
b)
c) 2
d)
a) 1
b)
c) 2
d)
Passo 1
O enunciado diz que um cilindro circular reto de raio
é cortado por um plano qualquer, formando uma elipse. Denotemos por
o semi-eixo maior e por
o semi-eixo menor dessa elipse. O enunciado afirma que o eixo maior é 50 % maior que o eixo menor, isto é,
ou, simplificando,
Para encontrar
e
em função de
, vamos usar a geometria da interseção cilindro-plano.
Passo 2
Escolhendo coordenadas, tomamos o cilindro
e um plano genérico de equação
. A interseção é o conjunto de pontos
Nessa elipse, a direção
(perpendicular ao plano de inclinação) não se deforma, logo o semi-eixo menor é
Passo 3
Para obter o semi-eixo maior, basta projetar o ponto
numa base ortonormal do plano. Um cálculo padrão mostra que o semi-eixo maior vale
Passo 4
Como o enunciado dá
e já vimos
, segue