(FGV-SP) Um plano intersecta um cilindro circular reto de raio 1 formando uma elipse. Se o eixo maior dessa elipse é 50% maior que o seu eixo menor, o comprimento do eixo maior é igual a:
a) 1
b) 32
c) 2
d) 94

Passo 1

O enunciado diz que um cilindro circular reto de raio r=1 é cortado por um plano qualquer, formando uma elipse. Denotemos por a o semi-eixo maior e por b o semi-eixo menor dessa elipse. O enunciado afirma que o eixo maior é 50 % maior que o eixo menor, isto é,
2a = 1,5 times 2b
ou, simplificando,
a = 1,5,b
Para encontrar a e b em função de r, vamos usar a geometria da interseção cilindro-plano.

Passo 2

Escolhendo coordenadas, tomamos o cilindro
x^2+y^2=r^2
e um plano genérico de equação z = m,x. A interseção é o conjunto de pontos
l(x,y,mxr)com x^2+y^2=r^2
Nessa elipse, a direção y (perpendicular ao plano de inclinação) não se deforma, logo o semi-eixo menor é
b = r = 1

Passo 3

Para obter o semi-eixo maior, basta projetar o ponto (x,0,mx) numa base ortonormal do plano. Um cálculo padrão mostra que o semi-eixo maior vale
a = r,raiz1 + m^2,

Passo 4

Como o enunciado dá a = 1,5,b e já vimos b=1, segue
a = 1,5 times 1 = 1,5

Resposta

tfrac32

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