(UF-ES) Um reservatório de água tem a forma de uma pirâmide regular de base quadrada. O vértice do reservatório está apoiado no solo, e seu eixo está posicionado perpendicularmente ao solo. Com o reservatório vazio, abre-se uma torneira que despeja água no reservatório com uma vazão constante. Após 10 minutos, o nível da água, medido a partir do vértice, atinge 14 da altura do reservatório. O tempo que ainda falta para encher completamente o reservatório é de:
a) 6 horas e 10 minutos.
b) 8 horas e 15 minutos.
c) 8 horas e 20 minutos.
d) 10 horas e 30 minutos.
e) 10 horas e 40 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório em forma de pirâmide regular de base quadrada e altura H, com o vértice apoiado no solo. Abre-se uma torneira que enche com vazão constante. Após 10 min, o nível da água atinge y=tfracH4. Queremos o tempo restante para encher totalmente. Vamos usar o fato de que, em pirâmides semelhantes, o volume cresce como o cubo da aresta linear.

Passo 2

Se V(y) é o volume de água até a altura y, e Vtotal é o volume total da pirâmide (quando y=H), pela semelhança temos:
V(y)=y^3H^3,Vtotal

Passo 3

Substituindo y=tfracH4:
V1 = Vl(tfracH4r) =l(tfracH4r)^3H^3,Vtotal =164,Vtotal

Passo 4

Como a vazão é constante, o tempo é proporcional ao volume. Se t1=10 min encheu V1, o tempo total T para encher Vtotal é
T = t1cdotVtotalV1 =10cdot 64 = 640 min
O tempo que ainda falta é
T - t1 = 640 - 10 = 630 min

Passo 5

Convertendo 630 min em horas e minutos:
630 min = 10 h 30 min

Resposta

(d) 10 horas e 30 minutos.

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