(UF-BA) Com base nos conhecimentos sobre geometria plana e espacial, é correto afirmar:
(01) Se dois triângulos são semelhantes e possuem a mesma área, então eles são congruentes.
(02) Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos mede o dobro do outro ângulo agudo, então um dos catetos mede o dobro do outro cateto.
(04) Se, em um plano, dois retângulos têm a mesma área, então é possível transformar um deles no outro, através da composição de uma rotação com uma translação.
(08) Sendo r e s retas concorrentes contidas, respectivamente, nos planos alpha e beta, se alpha e beta são perpendiculares, então r e s também o são.
(16) A razão entre os raios das esferas circunscrita e inscrita num mesmo cubo é igual a raiz3.
(32) O segmento que une dois vértices de um prisma qualquer é uma aresta ou é uma diagonal de uma das faces.

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmações sobre geometria plana e espacial, cada uma com um peso ( 01, 02, 04, 08, 16, 32), e pede para marcar as verdadeiras. No final, somamos os pesos das que forem corretas. Vamos examinar cada afirmação em separado.

Passo 2

Afirmação ( 01): “Se dois triângulos são semelhantes e possuem a mesma área, então eles são congruentes.”
Quando dois triângulos são semelhantes, suas áreas estão na razão do quadrado do fator de semelhança k, ou seja,
Área1Área2 = k^2 ÁÁ
Se essas áreas são iguais, então k^2=1, logo k=1. Isso implica que os lados correspondentes têm a mesma medida, ou seja, os triângulos são congruentes.
Conclusão: verdade, peso 01.

Passo 3

Afirmação ( 02): “Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos mede o dobro do outro ângulo agudo, então um dos catetos mede o dobro do outro cateto.”
Seja o triângulo retângulo com ângulos agudos theta e 2theta. Como theta + 2theta = 90^circ, temos theta=30^circ e 2theta=60^circ. Num triângulo 30^circ!-!60^circ!-!90^circ, a razão entre os catetos é
cateto oposto a 60^circcateto oposto a 30^circ =tfracraiz32htfrac12h=raiz3neq2
Logo, um cateto não é o dobro do outro.
Conclusão: falso.

Passo 4

Afirmação ( 04): “Se, em um plano, dois retângulos têm a mesma área, então é possível transformar um deles no outro, através da composição de uma rotação com uma translação.”
Rotação e translação são isometrias, logo preservam comprimentos. Se dois retângulos tiverem mesmo \emph{área} mas diferentes dimensões dos lados (por exemplo 2times12 e 3times8), não são congruentes e, portanto, não podem ser obtidos um do outro apenas por rotação e translação.
Conclusão: falso.

Passo 5

Afirmação ( 08): “Sendo r e s retas concorrentes contidas, respectivamente, nos planos alpha e beta, se alpha e beta são perpendiculares, então r e s também o são.”
Duas placas perpendiculares não impõem que \emph{todas} as retas que nelas se encontram formem ângulo reto: basta escolher em cada plano uma direção qualquer diferente da reta de interseção. Essas retas podem intersectar num ponto sem serem perpendiculares.
Conclusão: falso.

Passo 6

Afirmação ( 16): “A razão entre os raios das esferas circunscrita e inscrita num mesmo cubo é igual a raiz3.”
Num cubo de aresta a:
– Raio da esfera inscrita (tangente às faces):
rin=a2
– Raio da esfera circunscrita (passa pelos vértices, metade da diagonal espacial):
rout=raiz3,a2
Portanto
routrin =tfracraiz3,a2tfraca2 =raiz3
Conclusão: verdade, peso 16.

Passo 7

Afirmação ( 32): “O segmento que une dois vértices de um prisma qualquer é uma aresta ou é uma diagonal de uma das faces.”
Num prisma de base com n>=4, podemos escolher dois vértices que não pertencem à mesma face (por exemplo, um vértice da base A 1 e outro B 3 não adjacente na face lateral), e o segmento entre eles é uma diagonal espacial do prisma, não sendo nem aresta nem diagonal de face.
Conclusão: falso.

Resposta

Somando apenas os pesos das afirmações verdadeiras ( 01 e 16), obtemos
1 + 16 = 17.
17

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