(UF-BA) Com base nos conhecimentos sobre geometria plana e espacial, é correto afirmar:
(01) Se dois triângulos são semelhantes e possuem a mesma área, então eles são congruentes.
(02) Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos mede o dobro do outro ângulo agudo, então um dos catetos mede o dobro do outro cateto.
(04) Se, em um plano, dois retângulos têm a mesma área, então é possível transformar um deles no outro, através da composição de uma rotação com uma translação.
(08) Sendo
e s retas concorrentes contidas, respectivamente, nos planos
e
, se
e
são perpendiculares, então
e s também o são.
(16) A razão entre os raios das esferas circunscrita e inscrita num mesmo cubo é igual a
.
(32) O segmento que une dois vértices de um prisma qualquer é uma aresta ou é uma diagonal de uma das faces.
(01) Se dois triângulos são semelhantes e possuem a mesma área, então eles são congruentes.
(02) Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos mede o dobro do outro ângulo agudo, então um dos catetos mede o dobro do outro cateto.
(04) Se, em um plano, dois retângulos têm a mesma área, então é possível transformar um deles no outro, através da composição de uma rotação com uma translação.
(08) Sendo
(16) A razão entre os raios das esferas circunscrita e inscrita num mesmo cubo é igual a
(32) O segmento que une dois vértices de um prisma qualquer é uma aresta ou é uma diagonal de uma das faces.
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmações sobre geometria plana e espacial, cada uma com um peso (
,
,
,
,
,
), e pede para marcar as verdadeiras. No final, somamos os pesos das que forem corretas. Vamos examinar cada afirmação em separado.
Passo 2
Afirmação (
): “Se dois triângulos são semelhantes e possuem a mesma área, então eles são congruentes.”
Quando dois triângulos são semelhantes, suas áreas estão na razão do quadrado do fator de semelhança , ou seja,
Quando dois triângulos são semelhantes, suas áreas estão na razão do quadrado do fator de semelhança
Se essas áreas são iguais, então
, logo
. Isso implica que os lados correspondentes têm a mesma medida, ou seja, os triângulos são congruentes.
Conclusão: verdade, peso .
Conclusão: verdade, peso
Passo 3
Afirmação (
): “Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos mede o dobro do outro ângulo agudo, então um dos catetos mede o dobro do outro cateto.”
Seja o triângulo retângulo com ângulos agudos e
. Como
, temos
e
. Num triângulo
, a razão entre os catetos é
Seja o triângulo retângulo com ângulos agudos
Logo, um cateto não é o dobro do outro.
Conclusão: falso.
Conclusão: falso.
Passo 4
Afirmação (
): “Se, em um plano, dois retângulos têm a mesma área, então é possível transformar um deles no outro, através da composição de uma rotação com uma translação.”
Rotação e translação são isometrias, logo preservam comprimentos. Se dois retângulos tiverem mesmo \emph{área} mas diferentes dimensões dos lados (por exemplo e
), não são congruentes e, portanto, não podem ser obtidos um do outro apenas por rotação e translação.
Conclusão: falso.
Rotação e translação são isometrias, logo preservam comprimentos. Se dois retângulos tiverem mesmo \emph{área} mas diferentes dimensões dos lados (por exemplo
Conclusão: falso.
Passo 5
Afirmação (
): “Sendo
e
retas concorrentes contidas, respectivamente, nos planos
e
, se
e
são perpendiculares, então
e
também o são.”
Duas placas perpendiculares não impõem que \emph{todas} as retas que nelas se encontram formem ângulo reto: basta escolher em cada plano uma direção qualquer diferente da reta de interseção. Essas retas podem intersectar num ponto sem serem perpendiculares.
Conclusão: falso.
Duas placas perpendiculares não impõem que \emph{todas} as retas que nelas se encontram formem ângulo reto: basta escolher em cada plano uma direção qualquer diferente da reta de interseção. Essas retas podem intersectar num ponto sem serem perpendiculares.
Conclusão: falso.
Passo 6
Afirmação (
): “A razão entre os raios das esferas circunscrita e inscrita num mesmo cubo é igual a
.”
Num cubo de aresta :
– Raio da esfera inscrita (tangente às faces):
Num cubo de aresta
– Raio da esfera inscrita (tangente às faces):
– Raio da esfera circunscrita (passa pelos vértices, metade da diagonal espacial):
Portanto
Conclusão: verdade, peso
.
Passo 7
Afirmação (
): “O segmento que une dois vértices de um prisma qualquer é uma aresta ou é uma diagonal de uma das faces.”
Num prisma de base com , podemos escolher dois vértices que não pertencem à mesma face (por exemplo, um vértice da base A
e outro B
não adjacente na face lateral), e o segmento entre eles é uma diagonal espacial do prisma, não sendo nem aresta nem diagonal de face.
Conclusão: falso.
Num prisma de base com
Conclusão: falso.
Resposta
Somando apenas os pesos das afirmações verdadeiras (
e
), obtemos
.