(FGV-SP) Seja x um inteiro positivo menor que 21 . Se a mediana dos números 10,2,5, 2, 4, 2 e x é igual a 4, então o número de possibilidades para x é:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17

Passo 1

O enunciado diz que x é um inteiro positivo com 1<= x<21 e que a mediana dos sete números
10,;2,;5,;2,;4,;2,;x
é igual a 4. O conteúdo é estatística descritiva (mediana) e vamos usar a definição de mediana para amostras com número ímpar de observações.

Passo 2

Como há sete valores, a mediana é o quarto menor valor quando os sete números são colocados em ordem crescente. Em outras palavras, o elemento de posto 4 da lista ordenada deve ser 4.

Passo 3

Liste os seis valores fixos em ordem:
2,;2,;2,;4,;5,;10
Destes, temos # <4 =3 elementos menores que 4 e # <=4 =4 elementos menores ou iguais a 4.

Passo 4

Quando incluímos x, contamos dois casos:
  • Se x<4 (isto é, xin1,2,3), então
    #(<4) = 3+1=4 > 3,
    logo o quarto elemento seria menor que 4, e a mediana seria <,4 (não serve).
  • Se x>=4, então
    #(<4) = 3 <= 3 e #(<=4) = 4 (se x>4) ou 5 (se x=4),
    garantindo que o quarto elemento seja exatamente 4.

Passo 5

Logo, os valores de x que funcionam são todos os inteiros de 4 até 20. A quantidade de inteiros em 4,5,dots,20 é
20 - 4 + 1 = 17

Resposta

e) 17

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