(FGV-SP) Seja ( a1, a2, a3, ldots ) uma sequência com as seguintes propriedades:
(a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
(b) Calcule o valor de a2 ^50.
(i) a1=1.
(ii) a2 n=n cdot an, para qualquer n inteiro positivo.
(iii) a2 n+1=2, para qualquer n inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a1,a2,a3,dots) por
  1. ,a1=1.
  2. ,a2n=ncdot an para todo n>=1.
  3. ,a2n+1=2 para todo n>=1.
    Pede-se (a) os 16 primeiros termos e (b) o valor de a2^50.

Passo 2

Note que para índices ímpares maiores que 1 vale imediatamente
a2n+1=2,
e para índices pares usamos
a2n=n,an

Passo 3

Aplicando para n=1,2,dots,7 obtemos os pares (a2n,a2n+1):
  • n=1: a2=1cdot a1=1, a3=2.
  • n=2: a4=2cdot a2=2, a5=2.
  • n=3: a6=3cdot a3=6, a7=2.
  • n=4: a8=4cdot a4=8, a9=2.
  • n=5: a10=5cdot a5=10, a11=2.
  • n=6: a12=6cdot a6=36, a13=2.
  • n=7: a14=7cdot a7=14, a15=2.

Passo 4

Para n=8 temos
a16=8cdot a8=8cdot 8=64

Passo 5

Logo, os 16 primeiros termos são
a1,dots,a16 =1,1,2,2,2,6,2,8,2,10,2,36,2,14,2,64

Passo 6

Para calcular a2^50 defina bk=a2^k. Da regra a2n=n,an segue
bk=a2^k=2^,k-1,a2^,k-1=2^,k-1bk-1

Passo 7

Dessa recorrência obtemos
bk =prodi=1^k2^,i-1 =2^sumi=1^k(i-1) =2^k(k-1)/2
Tomando k=50
a2^50=b50=2^50cdot 49/2=2^1225

Resposta

(a) 1,1,2,2,2,6,2,8,2,10,2,36,2,14,2,64.
(b) a2^50=2^1225

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