(FGV-SP) Seja (
) uma sequência com as seguintes propriedades:
(a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
(b) Calcule o valor de
.
(i)
.
(ii)
, para qualquer
inteiro positivo.
(iii)
, para qualquer
inteiro positivo.
(a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
(b) Calcule o valor de
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
-
. -
para todo . -
para todo .
Pede-se (a) os 16 primeiros termos e (b) o valor de.
Passo 2
Note que para índices ímpares maiores que 1 vale imediatamente
e para índices pares usamos
Passo 3
Aplicando para
obtemos os pares
:
-
: , . -
: , . -
: , . -
: , . -
: , . -
: , . -
: , .
Passo 4
Para
temos
Passo 5
Logo, os 16 primeiros termos são
Passo 6
Para calcular
defina
. Da regra
segue
Passo 7
Dessa recorrência obtemos
Tomando
dá
Resposta
(a)
.
(b)
(b)