(FGV-SP) Sendo M uma matriz, M^-1 sua inversa, M^top sua transposta, D o determinante de M, e P o determinante de M^T, é correto afirmar que, necessariamente:
a) D=P.
b) M pode não ser uma matriz quadrada.
c) M^-1 e M^top podem não ser de mesma ordem.
d) M possui ao menos duas filas paralelas linearmente dependentes.
e) O determinante de M cdot M^-1 é igual ao produto de P por D.

Passo 1

O enunciado define uma matriz invertível M com inversa M^-1 e transposta M^top, determinante D=det(M) e P=det(M^top). Queremos identificar qual das afirmações é sempre verdadeira. O conteúdo usado será propriedades básicas de determinante (invertibilidade, transpose, produto).

Passo 2

Como M é invertível, ela deve ser quadrada de ordem n e satisfazer det(M)neq0. Portanto as opções que afirmam que M pode não ser quadrada ou que M^-1 e M^top podem ter ordens diferentes são falsas.

Passo 3

Uma propriedade fundamental de determinantes é que, para qualquer matriz quadrada A, vale
detl(A^topr)=det(A)
Aplicando essa propriedade a M, obtemos
P=detl(M^topr)=det(M)=D

Passo 4

Para confirmar que nenhuma outra opção é universalmente válida, note que
detl(M,M^-1r)=det(I)=1
enquanto
Pcdot D=D^2,
que só seria 1 se |D|=1, mas não em todo caso. Logo, a única afirmação necessária é D=P.

Resposta

(a) ,D=P,

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