(FGV-SP) Sendo M uma matriz,
sua inversa,
sua transposta, D o determinante de M, e P o determinante de
, é correto afirmar que, necessariamente:
a)
.
b)
pode não ser uma matriz quadrada.
c)
e
podem não ser de mesma ordem.
d) M possui ao menos duas filas paralelas linearmente dependentes.
e)
determinante de
é igual ao produto de
por
.
a)
b)
c)
d) M possui ao menos duas filas paralelas linearmente dependentes.
e)
Passo 1
O enunciado define uma matriz invertível
com inversa
e transposta
, determinante
e
. Queremos identificar qual das afirmações é sempre verdadeira. O conteúdo usado será propriedades básicas de determinante (invertibilidade, transpose, produto).
Passo 2
Como
é invertível, ela deve ser quadrada de ordem
e satisfazer
. Portanto as opções que afirmam que
pode não ser quadrada ou que
e
podem ter ordens diferentes são falsas.
Passo 3
Uma propriedade fundamental de determinantes é que, para qualquer matriz quadrada
, vale
Aplicando essa propriedade a
, obtemos
Passo 4
Para confirmar que nenhuma outra opção é universalmente válida, note que
enquanto
que só seria
se
, mas não em todo caso. Logo, a única afirmação necessária é
.
Resposta
(a)