(FGV-SP) Sejam
e
retas paralelas e distintas, com b entre a e c, tais que a distância entre a e
seja 5 , e a distância entre b e c seja 7. A área de um quadrado ABCD em que
e
é igual a:
a) 35
b) 42
c) 50
d) 74
e) 144
a) 35
b) 42
c) 50
d) 74
e) 144
Passo 1
O enunciado dá três retas paralelas e distintas
,
e
, com
entre
e
, tais que a distância de
a
é
e de
a
é
. Queremos a área de um quadrado
em que
,
e
. O conteúdo usado será geometria analítica e projeção ortogonal de vetores para relacionar as distâncias entre as retas e o lado do quadrado.
Passo 2
Vamos assumir sem perda de generalidade que as retas
,
e
são horizontais, separadas por distâncias verticais de
e
. Seja
o lado do quadrado e seja
o ângulo que o lado
faz com a horizontal.
- A componente vertical de
vale e corresponde à distância de a , ou seja,
. - O lado
está girado de em relação a , logo faz ângulo com a horizontal. Sua componente vertical é
e corresponde à distância dea , ou seja,
.
Passo 3
Dos dois resultados acima temos o sistema
Passo 4
Elevando ao quadrado e somando as duas equações:
Como
, segue
Resposta
A área do quadrado é
, alternativa d).