(FGV-SP) Sejam a, b e c retas paralelas e distintas, com b entre a e c, tais que a distância entre a e b seja 5 , e a distância entre b e c seja 7. A área de um quadrado ABCD em que A in a, B in b e C in c é igual a:
a) 35
b) 42
c) 50
d) 74
e) 144

Passo 1

O enunciado dá três retas paralelas e distintas a, b e c, com b entre a e c, tais que a distância de a a b é 5 e de b a c é 7. Queremos a área de um quadrado ABCD em que Ain a, Bin b e Cin c. O conteúdo usado será geometria analítica e projeção ortogonal de vetores para relacionar as distâncias entre as retas e o lado do quadrado.

Passo 2

Vamos assumir sem perda de generalidade que as retas a, b e c são horizontais, separadas por distâncias verticais de 5 e 7. Seja s o lado do quadrado e seja alpha o ângulo que o lado AB faz com a horizontal.
  • A componente vertical de AB vale ssinalpha e corresponde à distância de a a b, ou seja,
    ssinalpha = 5.
  • O lado BC está girado de 90^circ em relação a AB, logo faz ângulo alpha+90^circ com a horizontal. Sua componente vertical é
    ssin(alpha+90^circ)=scosalpha
    e corresponde à distância de b a c, ou seja,
    scosalpha = 7.

Passo 3

Dos dois resultados acima temos o sistema
ssinalpha = 5, scosalpha = 7

Passo 4

Elevando ao quadrado e somando as duas equações:
s^2sin^2alpha + s^2cos^2alpha = 5^2 + 7^2
Como sin^2alpha + cos^2alpha = 1, segue
s^2 = 25 + 49 = 74

Resposta

A área do quadrado é s^2 = 74, alternativa d).

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