(ITA-SP) Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então
é uma raiz do polinômio
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fala de três áreas em progressão geométrica: a do retângulo de lados
e
, a do triângulo isósceles de base
e altura
, e a do círculo inscrito nesse triângulo. Vamos precisar da fórmula da área de cada figura, da expressão do raio da circunferência inscrita num triângulo (inradius) e da condição de progressão geométrica
.
Passo 2
A área do retângulo é
a área do triângulo é
e a área do círculo inscrito, com raio
, é
No triângulo isósceles de base
e lados iguais de comprimento
, o semiperímetro é
e o inradius vale
.
Passo 3
Definindo
, temos
Portanto
Passo 4
Como as áreas formam progressão geométrica, o razão é
Da segunda igualdade vem
Substituindo
e dividindo por
obtemos
Fazendo algumas manipulações algébricas e isolando a raiz, chega-se a
Passo 5
Elevando ao quadrado e simplificando resulta
que é exatamente o polinômio da alternativa (d).
Resposta
(d)