(ITA-SP) Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então BH é uma raiz do polinômio
a) pi^3 x^3+pi^2 x^2+pi x-2=0
b) pi^2 x^3+pi^3 x^2+x+1=0
c) pi^3 x^3-pi^2 x^2+pi x+2=0
d) pi x^3-pi^2 x^2+2 pi x-1=0
e) x^3-pi^2 x^2+pi x-1=0

Passo 1

O enunciado fala de três áreas em progressão geométrica: a do retângulo de lados B e H, a do triângulo isósceles de base B e altura H, e a do círculo inscrito nesse triângulo. Vamos precisar da fórmula da área de cada figura, da expressão do raio da circunferência inscrita num triângulo (inradius) e da condição de progressão geométrica tfracA2A1=tfracA3A2.

Passo 2

A área do retângulo é
A1 = B,H,
a área do triângulo é
A2 = tfracB,H2,
e a área do círculo inscrito, com raio r, é
A3 = pi,r^2
No triângulo isósceles de base B e lados iguais de comprimento raiz(tfrac B2)^2+H^2, o semiperímetro é
s = B + 2raizl(tfrac B2r)^2+H^22,
e o inradius vale r=A2s.

Passo 3

Definindo x = tfracBH, temos
r = tfracB,H2tfracB + 2raiz(tfrac B2)^2+H^22 = B,HB + 2raizH^2 + (B/2)^2 = H ,x,x + 2raiztfracx^24+1,
Portanto
A1 = x,H^2, A2 = tfracx,H^22, A3 = pi,H^2,x^2l(x + 2raiztfracx^24+1r)^2

Passo 4

Como as áreas formam progressão geométrica, o razão é
A2A1 = 12 e A3A2 = 12
Da segunda igualdade vem
pi,r^2tfracx,H^22 = 12 ;Longrightarrow; 4pi,r^2 = x,H^2
Substituindo r^2 = H^2x^2(x + 2raiztfracx^24+1)^2 e dividindo por H^2 obtemos
4pi,x^2l(x + 2raiztfracx^24+1r)^2 = x
Fazendo algumas manipulações algébricas e isolando a raiz, chega-se a
raiztfracx^24+1 ;=;pi - x2 - 1x

Passo 5

Elevando ao quadrado e simplificando resulta
pi,x^3 ;-;pi^2,x^2 ;+;2pi,x ;-;1 ;=;0,
que é exatamente o polinômio da alternativa (d).

Resposta

(d)

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