(UF-ES) Num certo dia, três donas de casa compraram produtos A, B e C, em um supermercado, a preços , e por quilo, respectivamente. A primeira comprou 1, 2 e 3 quilos de A, B e C, respectivamente, e pagou o total de 22 reais. A segunda comprou 3, 4 e 2 quilos desses produtos, respectivamente, e pagou o total de 33 reais. A terceira comprou 2 quilos de A, 8 quilos de B e uma quantidade de quilos de C e pagou um total de reais. Calcule:
a) os valores de e para os quais não é possível determinar, apenas com base nos dados acima, os preços e ;
Passo 1
O enunciado nos dá três donas de casa que compraram produtos A, B e C a preços constantes por quilo. Da primeira temos
da segunda
e da terceira
O conteúdo aqui é análise de sistema linear de três equações e três incógnitas e vamos ver quando ele fica indeterminado.
Passo 2
Duas equações em três incógnitas formam um sistema com infinitas soluções (uma reta de soluções). Para não determinar unicamente ao incluir a terceira equação, ela deve ser combinação linear das duas primeiras, ou seja, seu plano deve coincidir com o plano gerado pelas outras duas.
Passo 3
Procuramos escalares e tais que
Isso dá o sistema
Passo 4
Das duas primeiras equações: alpha + 3beta = 2 e 2alpha +4beta = 8.
Da primeira isolamos alpha=2-3beta. Substituindo na segunda:
Assim a terceira equação é dependente das primeiras e o sistema fica indeterminado.
Resposta
m = 20 e n = 110.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 291