(UF-ES) Num certo dia, três donas de casa compraram produtos A, B e C, em um supermercado, a preços x, y e z por quilo, respectivamente. A primeira comprou 1, 2 e 3 quilos de A, B e C, respectivamente, e pagou o total de 22 reais. A segunda comprou 3, 4 e 2 quilos desses produtos, respectivamente, e pagou o total de 33 reais. A terceira comprou 2 quilos de A, 8 quilos de B e uma quantidade de m quilos de C e pagou um total de n reais. Calcule:
a) os valores de m e n para os quais não é possível determinar, apenas com base nos dados acima, os preços x, y e z;

Passo 1

O enunciado nos dá três donas de casa que compraram produtos A, B e C a preços constantes x,y,z por quilo. Da primeira temos
1cdot x + 2cdot y + 3cdot z = 22,
da segunda
3cdot x + 4cdot y + 2cdot z = 33,
e da terceira
2cdot x + 8cdot y + mcdot z = n
O conteúdo aqui é análise de sistema linear de três equações e três incógnitas e vamos ver quando ele fica indeterminado.

Passo 2

Duas equações em três incógnitas formam um sistema com infinitas soluções (uma reta de soluções). Para não determinar unicamente x,y,z ao incluir a terceira equação, ela deve ser combinação linear das duas primeiras, ou seja, seu plano deve coincidir com o plano gerado pelas outras duas.

Passo 3

Procuramos escalares alpha e beta tais que
alpha,(1,2,3) + beta,(3,4,2) = (2,8,m)
Isso dá o sistema
alpha + 3beta = 2, 2alpha +4beta = 8, 3alpha +2beta = m

Passo 4

Das duas primeiras equações:
alpha + 3beta = 2 e 2alpha +4beta = 8.
Da primeira isolamos alpha=2-3beta. Substituindo na segunda:
2(2-3beta) +4beta =8 ;Longrightarrow;4 -6beta +4beta =8 ;Longrightarrow;-2beta =4 ;Longrightarrow;beta = -2,
logo alpha = 2 -3(-2) =8.

Passo 5

Agora a terceira linha da combinação dá
m = 3alpha +2beta =3cdot8 +2cdot(-2) =24 -4 =20

Passo 6

Para que a constante n também siga a mesma combinação, devemos ter
n = alphacdot22 + betacdot33 = 8cdot22 +(-2)cdot33 =176 -66 =110
Assim a terceira equação é dependente das primeiras e o sistema fica indeterminado.

Resposta

m = 20 e n = 110.

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