(FGV-SP) O sistema linear nas incógnitas x, y e z :
lx-y=10+z y-z=5-x z+x=7+y
pode ser escrito na forma matricial AX=B, em que:
X=[lx y z] e B=[r10 5 7].
Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em
e pede o determinante da matriz . O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente montagem de matriz de coeficientes e cálculo de determinante de matriz .

Passo 2

Vamos reescrever cada equação de modo que todos os termos com incógnitas fiquem à esquerda e o termo numérico fique à direita:
x - y - z &= 10, x + y - z &= 5, x - y + z &= 7

Passo 3

A partir daí, a matriz de coeficientes A e o vetor B são
A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 , B = 1057

Passo 4

Para calcular det(A) podemos usar a regra de Sarrus ou desenvolvimento por co-fatores. Usando Sarrus, escrevemos:
det(A) =1cdot1cdot1 + (-1)cdot(-1)cdot1 + (-1)cdot1cdot(-1) - l((-1)cdot1cdot1 + 1cdot(-1)cdot1 + 1cdot(-1)cdot(-1)r)

Passo 5

Agora calculamos cada termo:
1cdot1cdot1 = 1, (-1)cdot(-1)cdot1 = 1, (-1)cdot1cdot(-1) = 1,
(-1)cdot1cdot1 = -1, 1cdot(-1)cdot1 = -1, 1cdot(-1)cdot(-1) = 1
Assim,
det(A) = (1+1+1) - l((-1)+(-1)+1r) =3 - (-1) = 4

Passo 6

O valor det(A)=4 corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) 4

Exercícios de Livros Relacionados