(UF-CE) A sequência (an)n >= 1 tem seus termos dados pela formula an=n+12. Calcule a soma dos dez primeiros termos da sequência (bn)n >= 1, onde bn=2^ an para n >= 1.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an=n+12
e define
bn=2^an.
Queremos calcular a soma dos dez primeiros termos de l(bnr).
O conteúdo envolve identificar uma progressão geométrica (PG) em bn e usar a fórmula da soma dos seus primeiros termos.

Passo 2

Escrevendo explicitamente
bn ;=; 2^an ;=; 2^n+12 ;=; l(2^1/2r)^,n+1 ;=; (raiz2)^,n+1

Passo 3

Para n=1,
b1 = (raiz2)^1+1=(raiz2)^2=2,
portanto o primeiro termo da PG é
a = b1=2.
A razão é
r=b2b1 =(raiz2)^3(raiz2)^2 =raiz2

Passo 4

A soma dos primeiros N termos de uma PG de termo inicial a e razão rneq1 é
SN ;=; a,r^N-1r-1
Aqui N=10, a=2 e r=raiz2, logo
S10 =2;(raiz2)^10-1raiz2-1

Passo 5

Calculando
(raiz2)^10 =l(2^1/2r)^10 =2^5 =32,
então
S10 =2;32-1raiz2-1 =2;31raiz2-1 =62raiz2-1

Passo 6

Racionalizando o denominador: multiplico numerador e denominador por raiz2+1,
S10 =62raiz2-1;cdot;raiz2+1raiz2+1 =62,(raiz2+1)

Resposta

62,l(raiz2+1r)

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