(UF-PI) Considere a equação abaixo:
|ccc 2^x & cos (x^2+1) & -sen(x^2+1) 1 & sen(x^2+1) & cos (x^2+1) 2^x & 0 & 0 |=1
Assinale a alternativa correta:
a) A equação não possui solução real.
b) A equação possui uma única solução real.
c) A equação possui apenas duas soluções reais e distintas.
d) A equação possui infinitas soluções reais.

Passo 1

O enunciado dá o determinante da matriz
2^x & cosl(x^2+1r) & -senl(x^2+1r) 1 & senl(x^2+1r) & cosl(x^2+1r) 2^x & 0 & 0 =1
e pede o número de soluções reais de x. Vamos precisar de expansão de determinante e da identidade trigonométrica cos^2t+sen^2t=1.

Passo 2

Expandimos o determinante pela terceira linha. Denotando A=x^2+1, temos na terceira linha os elementos a31=2^x, a32=0, a33=0. Assim
det = a31,C31 + a32,C32 + a33,C33 =2^x,C31,
onde C31=(-1)^3+1 vezes o menor correspondente.

Passo 3

O menor de a31 é o determinante da submatriz obtida retirando linha 3 e coluna 1:
cos A & -sen A sen A & cos A =cos Acdotcos A -(-sen A)cdotsen A =cos^2A+sen^2A=1
Como (-1)^4=+1, segue que
det =2^xcdot1=2^x

Passo 4

Impondo det=1 obtemos
2^x=1Longrightarrow x=0
Logo há exatamente uma solução real.

Resposta

b) A equação possui uma única solução real.

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