(FGV-SP) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é:
a) 10^-4
b) 10^-3
c) 10^-2
d) 10^-1
e) 1

Passo 1

O enunciado diz que numa progressão aritmética (PA) de primeiro termo a e razão d temos a soma dos 100 primeiros termos igual a 100 e a soma dos próximos 100 termos igual a 200. O conteúdo aqui é soma de PA, cuja fórmula é
Sn = n2l(2a + (n-1)dr)

Passo 2

Aplicando para n=100, a soma dos primeiros 100 termos é
S100 = 1002l(2a + 99dr) = 100
Logo
50,(2a + 99d) = 100 Longrightarrow 2a + 99d = 2

Passo 3

A soma dos termos 101 a 200 vale 200. Como essa soma é S200 - S100, e
S200 = 2002l(2a + 199dr) = 100,(2a + 199d),
temos
S200 - S100 = 100,(2a + 199d) - 50,(2a + 99d) = 200
Distribuindo e simplificando:
200a + 19900d - (100a + 4950d) = 200 Longrightarrow 100a + 14950d = 200

Passo 4

Resolvendo o sistema
2a + 99d = 2, 100a + 14950d = 200,
da primeira equação vem
a = 2 - 99d2
Substituindo na segunda:
100cdot2 - 99d2 + 14950d = 200 Longrightarrow 50(2 - 99d) + 14950d = 200
100 - 4950d + 14950d = 200 Longrightarrow 10000d = 100 Longrightarrow d = 10010000 = 0,01

Resposta

c) 10^-2

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