(FEI-SP) Seja ab a fração geratriz do número decimal periódico 0,2333 ldots, com a e b primos entre si. Nestas condições:
a) a+b=111
b) a^b=210
c) a cdot b=21
d) a-b=-23
e) 3 a-b=-7

Passo 1

O enunciado pede a fração geratriz de 0,2333ldots (onde somente o algarismo 3 repete) na forma tfracab com a e b primos entre si, e em seguida nos dá várias relações entre a e b para identificarmos a correta. O conteúdo here é conversão de número decimal periódico em fração geratriz.

Passo 2

Seja
x = 0,2333ldots
Temos parte não periódica de comprimento k=1 (o dígito 2) e período de comprimento p=1 (o dígito 3). Pela fórmula da fração geratriz:
x = 23 - 210^k,(10^p - 1) = 23 - 210^1,(10^1 - 1) = 2190 = 730
Logo a=7 e b=30, de modo que gcd(a,b)=1.

Passo 3

Agora calculamos as expressões mencionadas substituindo a=7 e b=30:
a + b = 7 + 30 = 37,
a^b = 7^30(muito grande),
a cdot b = 7 times 30 = 210,
a - b = 7 - 30 = -23,
3a - b = 3cdot7 - 30 = 21 - 30 = -9

Passo 4

Comparando com as alternativas:
a) a+b=111 37neq111,
b) a^b=210 é falso,
c) acdot b=21 210neq21,
d) a - b=-23 é verdade,
e) 3a - b=-7 -9neq -7.
A única opção correta é a (d).

Resposta

(d)

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