(FGV-SP) A soma das medidas das 12 arestas de um paralelepípedo retorretângulo é igual a 140 cm . Se a distância máxima entre dois vértices do paralelepípedo é 21 cm , sua área total, em cm^2, é:
a) 776
b) 784
c) 798
d) 800
e) 812

Passo 1

O enunciado fala de um paralelepípedo retorretângulo de arestas a,b,c. Precisamos usar duas informações: a soma das 12 arestas e a medida da diagonal espacial, e calcular a área total. O conteúdo principal é geometria de sólidos e manipulação algébrica de somas e produtos

Passo 2

Cada aresta aparece quatro vezes na soma das 12 arestas, então
4,(a+b+c)=140
Dessa forma,
a+b+c=35

Passo 3

A distância máxima entre dois vértices é a diagonal espacial, dada por
raiza^2+b^2+c^2=21
Logo,
a^2+b^2+c^2=441

Passo 4

Para encontrar ab+bc+ca, usamos a identidade
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2,(ab+bc+ca)
Substituindo a+b+c=35 e a^2+b^2+c^2=441, obtemos
35^2 = 441 + 2,(ab+bc+ca) Longrightarrow 1225 = 441 + 2,(ab+bc+ca)
2,(ab+bc+ca)=784 Longrightarrow ab+bc+ca=392

Passo 5

A área total do paralelepípedo é
2,(ab+bc+ca)=2cdot 392=784

Resposta

784 (alternativa b)

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