(FGV-18) Os termos de uma sequência são definidos recursivamente por
\left\{\begin{array}{l} a_{1}=5 \\\ a_{n}=2+a_{n-1} \end{array}\right.
para todo n \in I N, n \geq 2. Sendo assim, a soma dos n primeiros termos dessa sequência scrá dada pela expressão
a) 7 n-2.
b) 3,5 n^{2}-3,5 n+5.
c) n^{2}-17 n+60.
d) n^{2}+4 n.
e) 2 n+3.

Solução: Alternativa D

Perceba, pela definição da sequência, que se trata de uma PA de 1^{\circ} termo 5 e razão 2. O último termo é dado por a_{n}=a_{1}+(n-1) r=5+(n-1) 2=2 n+3.
Logo: S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2}=\frac{(5+2 n+3) n}{2}=n^{2}+4 n

Passo 1

O enunciado define recursivamente a sequência por \;a_{1}=5 e \;a_{n}=a_{n-1}+2 para n\ge2. Isto indica que estamos diante de uma progressão aritmética (PA). Para resolver, vamos usar a fórmula do termo geral de uma PA e, em seguida, a expressão da soma dos n primeiros termos.

Passo 2

Em uma PA, a razão é
r = a_{n} - a_{n-1} = 2,
e o primeiro termo é a_{1}=5. O termo geral vale
a_{n} = a_{1} + (n-1)\,r.
Substituindo, obtemos
a_{n} = 5 + (n-1)\cdot2 = 2n + 3.

Passo 3

A soma dos n primeiros termos de uma PA é
S_{n} = \frac{n}{2}\,(a_{1} + a_{n}).
Substituindo a_{1}=5 e a_{n}=2n+3, vem
S_{n} = \frac{n}{2}\,(5 + (2n+3)) = \frac{n}{2}\,(2n+8) = n(n+4) = n^{2} + 4n.

Resposta

A alternativa correta é a letra d.

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