(FGV-SP) Em um triângulo ABC, o lado AC e a mediatriz de BC se interceptam no ponto D , sendo que BD é bissetriz do ângulo ABC . Se AD=9 cm e DC=7 cm, a área do triângulo ABD, em cm^2, é:
a) 12
b) 14
c) 21
d) 28
e) 14 raiz5

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo ABC em que o ponto D é intersecção de AC com a mediatriz de BC e, ao mesmo tempo, o segmento BD é bissetriz do ângulo ang<= ABC. Sabemos que AD=9, DC=7. Vamos usar:
  1. Propriedade da mediatriz (equidistância de B e C).
  2. Propriedade da bissetriz interna (razão dos lados).
  3. Fórmula do comprimento da bissetriz.
  4. Fórmula de Heron para a área de triang<= ABD.

Passo 2

Como D pertence à mediatriz de BC, temos
DB = DC
Mas DC mede 7, logo
DB = 7

Passo 3

Pela propriedade da bissetriz interna em triang<= ABC, vale
ABBC ;=;ADDC ;=;97
Portanto
AB = 97,BC

Passo 4

Seja BC = x. Então AB=97x e AC=AD+DC=9+7=16. O comprimento da bissetriz BD em triang<= ABC satisfaz
BD^2 ;=; ABcdot BC ;l[1-l(tfracACAB+BCr)^2r]
Substituindo BD=7, AB=tfrac97x, BC=x e AB+BC=tfrac97x+x=tfrac167x, temos
7^2 = 97xcdot x l[1 - l(tfrac16tfrac167xr)^2r] = 97x^2l[1 - l(tfrac7xr)^2r] = 97(x^2-49)
Logo
49 = 97(x^2-49) ;Longrightarrow; 343 = 9(x^2-49) ;Longrightarrow; 9x^2 = 784 ;Longrightarrow; x^2 = 7849 ;Longrightarrow; x = 283
Assim BC=tfrac283 e
AB = 97cdot283 = 12

Passo 5

Agora em triang<= ABD conhecemos os três lados:
AB=12, BD=7, AD=9
Use a fórmula de Heron. O semiperímetro é
s = 12+7+92 = 14
A área é
Área = raizs(s-AB)(s-BD)(s-AD) = raiz14cdot(14-12)cdot(14-7)cdot(14-9) = raiz14cdot2cdot7cdot5 = raiz980 =14raiz5 Á

Resposta

14raiz5

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