(FGV-SP) Em um triângulo ABC, o lado e a mediatriz de BC se interceptam no ponto D , sendo que BD é bissetriz do ângulo ABC . Se AD=9 cm e DC=7 cm, a área do triângulo ABD, em cm^2, é:
a) 12
b) 14
c) 21
d) 28
e) 14 raiz5
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo ABC em que o ponto D é intersecção de AC com a mediatriz de BC e, ao mesmo tempo, o segmento BD é bissetriz do ângulo ang<= ABC. Sabemos que AD=9, DC=7. Vamos usar:
Propriedade da mediatriz (equidistância de B e C).
Propriedade da bissetriz interna (razão dos lados).
Fórmula do comprimento da bissetriz.
Fórmula de Heron para a área de triang<= ABD.
Passo 2
Como D pertence à mediatriz de BC, temos
DB = DC
Mas DC mede 7, logo
DB = 7
Passo 3
Pela propriedade da bissetriz interna em triang<= ABC, vale
ABBC ;=;ADDC ;=;97
Portanto
AB = 97,BC
Passo 4
Seja BC = x. Então AB=97x e AC=AD+DC=9+7=16. O comprimento da bissetriz BD em triang<= ABC satisfaz
BD^2 ;=; ABcdot BC ;l[1-l(tfracACAB+BCr)^2r]
Substituindo BD=7, AB=tfrac97x, BC=x e AB+BC=tfrac97x+x=tfrac167x, temos
Área = raizs(s-AB)(s-BD)(s-AD) = raiz14cdot(14-12)cdot(14-7)cdot(14-9) = raiz14cdot2cdot7cdot5 = raiz980 =14raiz5 Á
Resposta
14raiz5
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 287