(UE-CE) Em um quadrado PQRS, sejam M o ponto médio do lado PQ e N o ponto médio do lado PS. Se os segmentos RM e QN se cortam no ponto E , a medida do ângulo RÊN é:
a) 120^circ
b) 110^circ
c) 90^circ
d) 60^circ

Passo 1

O enunciado dá um quadrado PQRS, com M ponto médio de PQ e N ponto médio de PS. Precisamos achar o ângulo RwidehatEN, onde E é a interseção de RM com QN. Vamos usar geometria analítica (coordenadas e produto escalar).

Passo 2

Atribuímos coordenadas convenientes:
P=(0,0), Q=(1,0), R=(1,1), S=(0,1).
Como M e N são pontos médios,
M=l(tfrac12,0r) e N=l(0,tfrac12r).

Passo 3

A reta RM tem equação paramétrica
(x,y) = (1,1) + tl(-tfrac12,-1r)
e a reta QN tem equação paramétrica
(x,y) = (1,0) + sl(-1,tfrac12r)
Igualando coordenadas resulta em
1-tfrac t2 = 1 - s, 1 - t = tfrac s2
Da primeira equação segue s=tfrac t2. Substituindo na segunda:
1 - t = tfrac12cdottfrac t2 Longrightarrow 1 - t = tfrac t4 Longrightarrow t=tfrac45,;s=tfrac25
Logo o ponto de interseção é
E = l(1-tfrac12cdottfrac45,;1-tfrac45r) = l(tfrac35,tfrac15r)

Passo 4

Para obter o ângulo RwidehatEN, calculamos os vetores
ER = R - E = l(tfrac25,tfrac45r), EN = N - E = l(-tfrac35,tfrac310r)
O produto escalar é
ERcdot EN = tfrac25cdotl(-tfrac35r) + tfrac45cdottfrac310 = -tfrac625 + tfrac1250 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, logo
RwidehatEN = 90^circ

Resposta

c) 90^circ

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