(ITA-SP) Seja Pn um polígono regular de n lados, com n>2. Denote por an o
apótema e por bn o comprimento de um lado de Pn. O valor de n para o qual valem as desigualdades bn <= an e bn-1> >an-1, pertence ao intervalo
a) 3<n<7
b) 6<n<9
c) 8<n<11
d) 10<n<13
e) 12<n<15

Passo 1

O enunciado trata de um polígono regular Pn de n lados ( n>2), cujo apótema vale an e cujo lado vale bn. Queremos achar o inteiro n tal que simultaneamente
bn <= an e bn-1 > an-1
Para isso, vamos usar trigonometria em polígonos regulares.

Passo 2

Considere o círculo circunscrito de raio R. Em um n-gono regular inscrito:
bn = 2Rsin!l(tfracpi nr), an = Rcos!l(tfracpi nr)

Passo 3

A condição bn <= an vira
2sin!l(tfracpi nr);<=;cos!l(tfracpi nr) Longrightarrow tan!l(tfracpi nr)<=tfrac12 Longrightarrow tfracpi n <= arctantfrac12 Longrightarrow n >= piarctan(1/2)approx6,78
Como n é inteiro, isso exige n>=7.

Passo 4

A condição bn-1 > an-1 leva a
2sin!l(tfracpin-1r) > cos!l(tfracpin-1r) Longrightarrow tan!l(tfracpin-1r)> tfrac12 Longrightarrow tfracpin-1 > arctantfrac12 Longrightarrow n-1 < piarctan(1/2)approx6,78
ou seja n<7,78. Como n é inteiro, isso exige n<=7.

Passo 5

Das duas condições inteiras temos simultaneamente
n>=7 e n<=7 Longrightarrow n=7
Logo o valor de n está estritamente entre 6 e 9.

Resposta

b) 6<n<9

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