Fix 4.6: Determine se

Passo 1

O enunciado pede para ver se
O conteúdo aqui é a definição de extremo local: nós lembramos que
tal que, para todo com , vale .
é um máximo local se existe tal que, para todo com , vale .

Passo 2

Vamos avaliar f(0). Pela definição da função, como 0>=0, temos
f(0)=-1

Passo 3

Agora, examinamos os valores de f(x) num intervalo em torno de 0. Escolha qualquer de<a>0.
  • Se x satisfaz -de<a < x < 0, então x<0 e f(x)=1>= -1=f(0)
  • Se 0<= x<de<a, então x>=0 e f(x)=-1= f(0)
Logo, para todo x em (-,de<a,de<a) temos f(x)>= f(0).

Passo 4

Isso mostra que existe de<a>0 (por exemplo, de<a=1) tal que, em toda vizinhança (-,de<a,de<a), vale f(x)>= f(0). Portanto 0 é um mínimo local.
Para verificar que não é máximo local, basta notar que à esquerda de 0 temos f(x)=1>f(0), o que impede a condição f(x)<= f(0).

Resposta

x0=0 é um mínimo local (não estrito), mas não é máximo local.

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