Se S for o sólido no primeiro octante, limitado pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e pelos planos coordenados, calcule a integral tripla \iiint_{S} x y z d V por três métodos:
usando coordenadas esféricas;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{S} x\,y\,z \,dV
onde S é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16
e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas esféricas, isto é
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com o jacobiano
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Substituindo na integral, o integrando fica
x\,y\,z =(\rho\sin\varphi\cos\theta)\,(\rho\sin\varphi\sin\theta)\,(\rho\cos\varphi) =\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\;\cos\theta\sin\theta
e com o jacobiano
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
o produto total é
\rho^{5}\,\sin^{3}\varphi\cos\varphi\;\cos\theta\sin\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Agora fixamos os limites em cada variável: \rho varia de 0 a 4 (raio da esfera), \varphi de 0 a \tfrac{\pi}{2} (primeiro octante em \varphi),
e \theta de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
Assim
\iiint_{S} x\,y\,z\,dV =\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{4} \rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\;\cos\theta\sin\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Vamos separar as integrais em \rho, \varphi e \theta:
\int_{0}^{4}\rho^{5}d\rho =\biggl[\frac{\rho^{6}}{6}\biggr]_{0}^{4} =\frac{4^{6}}{6} =\frac{4096}{6} =\frac{2048}{3},
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\,d\varphi \quad\text{fazendo }u=\sin\varphi,\;du=\cos\varphi\,d\varphi \quad\Rightarrow\quad \int_{0}^{1}u^{3}du =\Bigl[\frac{u^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{4},
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta \quad\text{sabendo que } \int\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\frac{\sin^{2}\theta}{2} \quad\Rightarrow\quad \Bigl[\frac{\sin^{2}\theta}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{2}.

Passo 5

Multiplicando os três resultados:
\frac{2048}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{2} =\frac{2048}{3}\times\frac{1}{8} =\frac{256}{3}.

Resposta

\frac{256}{3}

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