Se
for o sólido no primeiro octante, limitado pela esfera
e pelos planos coordenados, calcule a integral tripla
por três métodos:
usando coordenadas esféricas;
usando coordenadas esféricas;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas esféricas, isto é
com o jacobiano
Passo 2
Substituindo na integral, o integrando fica
e com o jacobiano
o produto total é
Passo 3
Agora fixamos os limites em cada variável:
varia de
a
(raio da esfera),
de
a
(primeiro octante em
),
e de
a
.
Assim
e
Assim
Passo 4
Vamos separar as integrais em
,
e
:
Passo 5
Multiplicando os três resultados: