Se S for o sólido no primeiro octante, limitado pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e pelos planos coordenados, calcule a integral tripla \iiint_{S} x y z d V por três métodos:
usando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{S} x\,y\,z\,dV
onde S é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar S e expressar x, y, z e dV.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
No primeiro octante \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}, r de 0 a 4 (pois na projeção no plano xy a esfera vira r^2\le16) e, para cada (r,\theta), z vai de 0 a \sqrt{16-r^2}.

Passo 3

Montamos a integral
\iiint_{S} x\,y\,z\,dV =\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{4}\int_{z=0}^{\sqrt{16-r^2}} (r\cos\theta)(r\sin\theta)\,z\;r\,dz\,dr\,d\theta.
Isso simplifica para
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\cos\theta\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{4}r^{3}\,dr \int_{0}^{\sqrt{16-r^2}}z\,dz.

Passo 4

Primeiro, a integral em z:
\int_{0}^{\sqrt{16-r^2}}z\,dz =\frac{1}{2}\bigl(16-r^2\bigr).
Então a integral torna-se
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{4}r^{3}\,\frac{1}{2}(16-r^2)\,dr =\frac{1}{2}\Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\,d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{4}(16r^3 - r^5)\,dr\Bigr).
Calculamos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{2},
\int_{0}^{4}(16r^3 - r^5)\,dr =16\cdot\frac{4^4}{4}-\frac{4^6}{6} =1024-\frac{4096}{6} =\frac{2048}{6} =\frac{1024}{3}.
Multiplicando tudo:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1024}{3} =\frac{1024}{12} =\frac{256}{3}.

Resposta

\iiint_{S}x\,y\,z\,dV \;=\;\frac{256}{3}.

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