Se
for o sólido no primeiro octante, limitado pela esfera
e pelos planos coordenados, calcule a integral tripla
por três métodos:
usando coordenadas cilíndricas.
usando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
onde
é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar
e expressar
,
,
e
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e o elemento de volume
No primeiro octante
varia de
a
,
de
a
(pois na projeção no plano
a esfera vira
) e, para cada
,
vai de
a
.
Passo 3
Montamos a integral
Isso simplifica para
Passo 4
Primeiro, a integral em
:
Então a integral torna-se
Calculamos
Multiplicando tudo: