Uma P.A. é formada por 3 termos com as seguintes propriedades:
I) seu produto é igual ao quadrado de sua soma;
II) a soma dos dois primeiros é igual ao terceiro.
Obtenha a P.A.

Passo 1

Resumindo: queremos uma progressão aritmética de três termos cujos termos são
t1 = a, t2 = a + d, t3 = a + 2d
e que satisfaz as duas condições:
I) o produto dos três termos é igual ao quadrado da soma deles;
II) a soma dos dois primeiros é igual ao terceiro.

Passo 2

Da condição II, temos
t1 + t2 = t3
ou seja,
a + (a + d) = a + 2d
Fazendo simplificação,
2a + d = a + 2d ;Longrightarrow; a - d = 0 ;Longrightarrow; d = a

Passo 3

Substituindo d=a, os três termos ficam
t1 = a, t2 = a + a = 2a, t3 = a + 2a = 3a

Passo 4

Agora aplicamos a condição I, que diz
t1cdot t2cdot t3 = l(t1 + t2 + t3r)^2
Substituindo os valores:
a cdot (2a) cdot (3a) = l(a + 2a + 3ar)^2 ;Longrightarrow; 6a^3 = (6a)^2 ;Longrightarrow; 6a^3 = 36a^2

Passo 5

Resolvendo 6a^3 = 36a^2:
se aneq 0, dividimos ambos os lados por a^2 e obtemos
6a = 36 ;Longrightarrow; a = 6
Há também a solução trivial a=0, que gera a P.A. (0,0,0).
Para a=6, temos d=6 e a P.A. é
6, 12, 18

Resposta

A progressão aritmética não trivial é 6,,12,,18 (além da solução degenerada 0,0,0).

Exercícios de Livros Relacionados