Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos
, que lugar ocupa o número 68412 ?
Solução
Esse número é precedido pelos números da forma:
(1)
que são em número de
!
(2)
que são em número de
!
(3)
que são em número de
!
(4)
que são em número de
!
(5)
que são em número de
!
(6)
que são em número de
!
(7)
que são em número de
!
(8) (6, 8, 2, -, -) que são em número de
!
De (1), (2), …, (8) concluímos que 68412 é precedido por um total de
números. Portanto, a posição de 68412 é a 95 a.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (6, 8, 2, -, -) que são em número de
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos permutações dos algarismos
em ordem crescente e queremos a posição de 68412. Vamos usar o método de rank lexicográfico, contando quantas permutações vêm antes de 68412.
Passo 2
Para o primeiro dígito, os que são menores que 6 são
. Cada escolha permite permutar livremente os outros quatro algarismos, resultando em
permutações por escolha. Logo, há
números que começam com dígito menor que 6 e precedem 68412.
Passo 3
Com o primeiro dígito 6 fixo, analisamos o segundo dígito. Dos algarismos remanescentes
, os menores que 8 são
. Cada um gera
permutações dos três dígitos restantes, totalizando
números adicionais. Soma acumulada:
Passo 4
Com prefixo 68, o terceiro dígito é 4. Nos remanescentes
, os menores que 4 são
. Cada um gera
permutações dos dois últimos dígitos, totalizando
números. Soma acumulada:
Passo 5
Com prefixo 684, quarto e quinto dígitos são 1 e 2. Nos conjuntos remanescentes não há dígitos menores que 1 nem que 2, portanto não há permutações adicionais e a soma permanece 94.
Passo 6
A posição de 68412 é o total de números que o precedem mais 1, isto é,
Resposta
68412 ocupa a
posição.