Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1,2,4,6,8, que lugar ocupa o número 68412 ?

Solução

Esse número é precedido pelos números da forma:
(1) (1,-,-,-,-) que são em número de P4=4 !
(2) (2,-,-,-,-) que são em número de P4=4 !
(3) (4,-,-,-,-) que são em número de P4=4 !
(4) (6,1,-,-,-) que são em número de P3=3 !
(5) (6,2,-,-,-) que são em número de P3=3 !
(6) (6,4,-,-,-) que são em número de P3=3 !
(7) (6,8,1,-,-) que são em número de P2=2 !
(8) (6, 8, 2, -, -) que são em número de P2=2 !
De (1), (2), …, (8) concluímos que 68412 é precedido por um total de 4!+4!+4!+3!+3!+3!+2!+2!=94 números. Portanto, a posição de 68412 é a 95 a.

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos permutações dos algarismos 1,2,4,6,8 em ordem crescente e queremos a posição de 68412. Vamos usar o método de rank lexicográfico, contando quantas permutações vêm antes de 68412.

Passo 2

Para o primeiro dígito, os que são menores que 6 são 1,2,4. Cada escolha permite permutar livremente os outros quatro algarismos, resultando em 4! permutações por escolha. Logo, há
3 times 4! = 72
números que começam com dígito menor que 6 e precedem 68412.

Passo 3

Com o primeiro dígito 6 fixo, analisamos o segundo dígito. Dos algarismos remanescentes 1,2,4,8, os menores que 8 são 1,2,4. Cada um gera 3! permutações dos três dígitos restantes, totalizando
3 times 3! = 18
números adicionais. Soma acumulada:
72 + 18 = 90

Passo 4

Com prefixo 68, o terceiro dígito é 4. Nos remanescentes 1,2,4, os menores que 4 são 1,2. Cada um gera 2! permutações dos dois últimos dígitos, totalizando
2 times 2! = 4
números. Soma acumulada:
90 + 4 = 94

Passo 5

Com prefixo 684, quarto e quinto dígitos são 1 e 2. Nos conjuntos remanescentes não há dígitos menores que 1 nem que 2, portanto não há permutações adicionais e a soma permanece 94.

Passo 6

A posição de 68412 é o total de números que o precedem mais 1, isto é,
94 + 1 = 95

Resposta

68412 ocupa a 95^a posição.

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