Quantos divisores positivos tem o número N=2^a cdot 3^b cdot 5^c cdot 7^d ?

Passo 1

O enunciado nos dá o número
N = 2^acdot3^bcdot5^ccdot7^d
e pede a quantidade de divisores positivos de N. O conteúdo aqui é contagem de divisores através da fatoração prima.

Passo 2

Um divisor genérico de N tem a forma
2^icdot3^jcdot5^kcdot7^ell
onde os expoentes satisfazem
0 <= i <= a, 0 <= j <= b, 0 <= k <= c, 0 <= ell <= d

Passo 3

Cada expoente pode assumir a+1 valores para i, b+1 valores para j, c+1 valores para k e d+1 valores para ell. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de divisores é
(a+1),(b+1),(c+1),(d+1)

Resposta

(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)

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