A fórmula para converter a temperatura Celsius x em temperatura Kelvin é k(x)=x+273,16. A fórmula para converter a temperatura Fahrenheit x em temperatura Celsius é c(x)=\frac{5(x-32)}{9}
(a) Encontre uma fórmula para c^{-1}(x). Para que é usada essa fórmula?
(b) Encontre (k o \text{©}(x)). Para que é usada essa fórmula?

Passo 1

O enunciado dá duas funções de conversão de temperatura: k(x)=x+273,16 que leva Celsius a Kelvin, e c(x)=\frac{5(x-32)}{9} que leva Fahrenheit a Celsius. Queremos calcular a inversa de c e a composição k\circ c. Vamos usar conceitos de função inversa e composição de funções.

Passo 2

Para achar a inversa de c, escrevemos
y=\frac{5(x-32)}{9}
e resolvemos para x:
y=\frac{5(x-32)}{9} \quad\Longrightarrow\quad 9y=5(x-32) \quad\Longrightarrow\quad x-32=\frac{9y}{5} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{9y}{5}+32.
Logo, a função inversa é \;c^{-1}(x)=\frac{9x}{5}+32.

Passo 3

A interpretação de c^{-1} é converter uma temperatura em graus Celsius de volta para graus Fahrenheit. Ou seja, se x está em \circC, c^{-1}(x) dá o valor em \circF.

Passo 4

Para calcular k\circ c, substituímos c(x) na fórmula de k:
(k\circ c)(x)=k\bigl(c(x)\bigr)=c(x)+273,16
e como c(x)=\frac{5(x-32)}{9}, temos
(k\circ c)(x)=\frac{5(x-32)}{9}+273,16.

Passo 5

A interpretação de (k\circ c)(x) é converter uma temperatura em \circF diretamente para \circK. Primeiro transformamos \circF em \circC via c, depois somamos 273,16 para chegar em \circK.

Resposta

(a) \displaystyle c^{-1}(x)=\frac{9x}{5}+32, usada para converter graus Celsius em graus Fahrenheit.
(b) \displaystyle (k\circ c)(x)=\frac{5(x-32)}{9}+273,16, usada para converter graus Fahrenheit em Kelvin.

Exercícios de Livros Relacionados