Qual é a posição da reta r: 5 x+12 y+8=0 em relação à circunferência lambda: x^2+y^2-2 x=0 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a reta rcolon 5x+12y+8=0 e a circunferência lambdacolon x^2+y^2-2x=0. Queremos saber se r corta, toca ou não atinge lambda. Para isso, vamos (i) encontrar o centro e o raio de lambda completando o quadrado e (ii) calcular a distância do centro à reta usando a fórmula de distância de ponto a reta.

Passo 2

A equação de lambda é
x^2+y^2-2x=0
Completando o quadrado no termo de x, escrevemos
x^2-2x+ y^2 =0 longrightarrow (x-1)^2-1 +y^2=0 longrightarrow (x-1)^2+y^2=1
Logo, o centro é C=(1,0) e o raio é R=1.

Passo 3

Para qualquer reta ax+by+c=0 e ponto (x0,y0), a distância é
d=l|a,x0+b,y0+cr|raiza^2+b^2
Aqui a=5, b=12, c=8 e (x0,y0)=(1,0). Então
d=l|5cdot1+12cdot0+8r|raiz5^2+12^2 =|13|raiz25+144 =1313 =1

Passo 4

Comparando d=1 com R=1, vemos que d=R. Isso significa que a reta toca a circunferência em exatamente um ponto.

Resposta

A reta r é tangente à circunferência lambda.

Exercícios de Livros Relacionados