Se
, mostre que:
Passo 1
O enunciado define
onde cada
é um dígito em
. O conteúdo da matéria é séries numéricas convergentes (aqui uma série geométrica generalizada) e a propriedade de multiplicação de uma série convergente por uma constante.
Passo 2
Escrevemos
de forma mais compacta como série infinita:
Essa série converge absolutamente porque
. Logo, podemos multiplicar termo a termo por qualquer constante.
Passo 3
Multiplicamos
por
. Como a série converge absolutamente, temos
Passo 4
Dentro do somatório, juntamos as potências de
:
Portanto