Se s=a110+a210^2+a310^3+ldots(a1, a2, ldots in I N ; 0 <= ai <= 9), mostre que:
110^r s=a110^r+1+a210^r+2+a310^r+3+ldots

Passo 1

O enunciado define
s = a110 + a210^2 + a310^3 + cdots
onde cada ai é um dígito em 0,1,dots,9. O conteúdo da matéria é séries numéricas convergentes (aqui uma série geométrica generalizada) e a propriedade de multiplicação de uma série convergente por uma constante.

Passo 2

Escrevemos s de forma mais compacta como série infinita:
s = sumi=1^infty ai10^i
Essa série converge absolutamente porque sum |ai|/10^i <= sum 9/10^i = 1. Logo, podemos multiplicar termo a termo por qualquer constante.

Passo 3

Multiplicamos s por tfrac110^r. Como a série converge absolutamente, temos
110^r,s = 110^r sumi=1^infty ai10^i = sumi=1^infty 110^r cdot ai10^i

Passo 4

Dentro do somatório, juntamos as potências de 10:
110^r cdot ai10^i = ai10^i+r
Portanto
110^r,s = sumi=1^infty ai10^i+r = a110^r+1 + a210^r+2 + a310^r+3 + cdots

Resposta

110^r,s = a110^r+1 + a210^r+2 + a310^r+3 + cdots

Exercícios de Livros Relacionados