A função custo mensal de fabricação de um produto é C=x^33-2 x^2+10 x+1 e a função de demanda mensal do mesmo produto é p=10-x. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?

Passo 1

O enunciado dá a função custo mensal de produção
C(x)=x^33-2x^2+10x+1
e a função demanda
p(x)=10-x
O objetivo é maximizar o lucro, que é a diferença entre receita e custo, usando otimização por derivada.

Passo 2

A receita mensal é
R(x)=xcdot p(x)=x(10-x)=10x - x^2
Logo o lucro é
pi(x)=R(x)-C(x) =10x - x^2-gl(x^33-2x^2+10x+1gr) =-x^33+x^2-1

Passo 3

Calculamos a derivada do lucro:
pi'(x)=-x^2+2x

Passo 4

Para encontrar candidatos a extremo, igualamos a zero:
pi'(x)=0implies -x^2+2x=0implies x(2-x)=0
Isso dá x=0 ou x=2.

Passo 5

Verificamos a segunda derivada:
pi''(x)=-2x+2
Em x=2 temos pi''(2)=-2<0, indicando máximo local em x=2.

Passo 6

A quantidade ótima é x=2. O preço correspondente é
p(2)=10-2=8

Resposta

O preço que maximiza o lucro é 8.

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