Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=x^44-x^22+10

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de crescimento e decrescimento de
f(x)=x^44-x^22+10
e os pontos de máximo e mínimo. O conteúdo envolve derivada de polinômio para estudar monotonia e extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Sendo
f(x)=x^44-x^22+10,
usa-se a regra do poder para obter
f'(x)=x^3-x

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
x^3-x=0 Longrightarrow x(x^2-1)=0 Longrightarrow x=0,;pm1

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado por -infty,-1,0,1,infty:
– Para x<-1, por exemplo x=-2:
f'(-2)=(-2)^3-(-2)=-8+2=-6<0,
logo f decresce em (-infty,-1).
– Para -1<x<0, por exemplo x=-tfrac12:
f'(-tfrac12)=(-tfrac12)^3-(-tfrac12)=-tfrac18+tfrac12=tfrac38>0,
logo cresce em (-1,0).
– Para 0<x<1, por exemplo x=tfrac12:
f'(tfrac12)=(tfrac12)^3-(tfrac12)=tfrac18-tfrac12=-tfrac38<0,
logo decresce em (0,1).
– Para x>1, por exemplo x=2:
f'(2)=2^3-2=8-2=6>0,
logo cresce em (1,infty).

Passo 5

Com o teste de sinal de f' concluímos:
f decresce em (-infty,-1) e em (0,1).
f cresce em (-1,0) e em (1,infty).

Passo 6

Identificamos os extremos nos pontos críticos:
– Em x=-1, f' muda de negativo para positivo Rightarrow mínimo local.
– Em x=0, f' muda de positivo para negativo Rightarrow máximo local.
– Em x=1, f' muda de negativo para positivo Rightarrow mínimo local.
Calculamos f nesses pontos:
f(-1)=(-1)^44-(-1)^22+10 =14-12+10 =10-14 =394,
f(0)=10,
f(1)=14-12+10 =394

Resposta

Intervalos de crescimento: (-1,0) e (1,infty).
Intervalos de decrescimento: (-infty,-1) e (0,1).
Máximo local em x=0 com f(0)=10.
Mínimos locais em x=-1 e x=1 com f(pm1)=tfrac394.

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