Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x)=e^-x^2
e os pontos de máximo e mínimo, usando o teste da derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra da cadeia. Seja u(x)=-x^2, então
u'(x)=-2x
e, como l(e^u(x)r)'=e^u(x)u'(x), temos
f'(x)=e^-x^2cdot(-2x)=-2x,e^-x^2

Passo 3

Para determinar o sinal de f'(x), note que e^-x^2>0 para todo x. Logo
  • se x<0, então -2x>0 e f'(x)>0, ou seja, f cresce;
  • se x>0, então -2x<0 e f'(x)<0, ou seja, f decresce.
Portanto
(f) cresce em (-infty,0), (f) decresce em (0,infty)

Passo 4

O único ponto crítico é x=0, pois f'(0)=0. Para classificar, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=l(-2x,e^-x^2r)' =-2,e^-x^2+(-2x)cdotl(e^-x^2r)' =-2,e^-x^2+4x^2,e^-x^2 =e^-x^2(4x^2-2)
Em x=0 vale
f''(0)=e^0,(4cdot0^2-2)=-2<0,
indicando que x=0 é ponto de máximo local (e também global).

Passo 5

Como limxtopminftyf(x)=0 e f(x)>0 nunca atinge valor inferior, não há mínimo, apenas o máximo em x=0.

Resposta

f cresce em (-infty,0) e decresce em (0,infty).
Tem máximo global em x=0 com f(0)=1.
Não há ponto de mínimo.

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