Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=x-1x-2

Passo 1

O enunciado pede para obter os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x) = x-1x-2
e determinar possíveis pontos de máximo e mínimo. O conteúdo principal que vamos usar é a regra do quociente para derivação e a análise do sinal da derivada.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como há divisão por x-2, o domínio é
R setminus 2

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, a derivada de f é
f'(x) = (1),(x-2)-(x-1),(1)(x-2)^2 = x-2-x+1(x-2)^2 = -1(x-2)^2

Passo 4

Note que (x-2)^2>0 para todo xneq2 e o numerador é constante igual a -1. Logo
f'(x) = -1(x-2)^2 < 0 para todo xneq2

Passo 5

Como f'(x)<0 em cada componente do domínio, a função é estritamente decrescente em
(-infty,2) e (2,infty)
Não há intervalo em que f'(x)>0, isto é, não há crescimento.

Passo 6

Para haver ponto de máximo ou mínimo local seria preciso f'(x)=0 em algum ponto do domínio ou mudança de sinal da derivada. Aqui f'(x) nunca se anula e mantém sinal negativo em toda a região de definição. Portanto, não existem pontos de máximo nem de mínimo local.

Resposta

A função é decrescente em (-infty,2) e em (2,infty) e não possui pontos de máximo nem de mínimo local.

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