Use a técnica da derivação logaritmica para calcular a derivada f^{\prime}(x).
f(x)=\frac{(x+2)^{5}}{\sqrt[6]{3 x-5}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{(x+2)^5}{\sqrt[6]{3x-5}} usando derivação logarítmica. Vamos aplicar o logaritmo natural em f para simplificar a diferença de potências antes de diferenciar.

Passo 2

Tomamos o logaritmo de f(x):
\ln f(x)=\ln\bigl((x+2)^5\bigr)-\ln\bigl((3x-5)^{1/6}\bigr)
\ln f(x)=5\ln(x+2)-\frac{1}{6}\ln(3x-5).

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x e usando \tfrac{d}{dx}\ln f=f'/f, temos
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{5}{x+2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{3x-5} =\frac{5}{x+2}-\frac{1}{2(3x-5)}.

Passo 4

Isolando f'(x) e retomando f(x):
f'(x)=f(x)\Bigl(\frac{5}{x+2}-\frac{1}{2(3x-5)}\Bigr) =\frac{(x+2)^5}{(3x-5)^{1/6}}\Bigl(\frac{5}{x+2}-\frac{1}{2(3x-5)}\Bigr).
Simplificando o fator comum resulta
f'(x)=\frac{(29x-52)(x+2)^4}{2\,(3x-5)^{7/6}}.

Resposta

f'(x)=\frac{(29x-52)(x+2)^4}{2\,(3x-5)^{7/6}}.

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