Se G(x) é a função generalizada para a seqüência \left\{a_{k}\right\}, qual é a função generalizada para cada uma das seqüências abaixo?
d) a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência \{a_k\}_{k\ge0} cuja função geradora é
G(x)=\sum_{k\ge0}a_k\,x^k
e pede a função geradora da sequência que começa em a_2,a_3,a_4,\dots.

Passo 2

Denotemos por \{b_n\}_{n\ge0} a sequência desejada, ou seja
b_n = a_{n+2}\quad(n\ge0).
A função geradora de \{b_n\} é
H(x)=\sum_{n\ge0}b_n\,x^n =\sum_{n\ge0}a_{n+2}\,x^n.

Passo 3

Fazemos a reindexação m=n+2. Assim
H(x) =\sum_{m\ge2}a_m\,x^{m-2} =x^{-2}\sum_{m\ge2}a_m\,x^m =x^{-2}\Bigl(\sum_{m\ge0}a_m\,x^m - a_0 - a_1x\Bigr).
Mas \sum_{m\ge0}a_m\,x^m=G(x). Logo
H(x) =\frac{G(x)-a_0 - a_1x}{x^2}.

Resposta

\frac{G(x)-a_0 - a_1x}{x^2}.

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